麗麗講給孩子的數學9：為什麼說0.9999……=1？

0.99999……=1，跟我們的直觀感覺不同。

明明0.99999……沒到1呀，怎麼就等於1了呢？

數學就是這麼反直覺，但是又確實是這麼回事。

下面我們來說明一下。

首先，咱們說一個大家都能懂的證明。

我們令n=0.99999……

下一步，兩邊等式兩邊同時乘以10，於是得到：

10n等於9.99999……

沒毛病，對不對？

好，我們再兩邊同時減去一個n，於是得到：

9n=9（n＝0.99999……我們前面設定過）

那麼，我們再兩邊同時除以9，得到n=1，也就是說0.99999……=1

這是一個中學生都能看懂的證明，證明結果就是這樣，讓人不得不信。

可是你就是感覺奇怪，為了說服自己，我們需要點【極限與無窮】的知識了。

極限與無窮

0.99999……，是一個無限循環小數，它無限趨近於1。

這一步能懂吧？

在數軸上，0和1之間，你可以說還有無限個數。

哪怕是0.9和1之間，你都能找到無限個數——到這一步，你也能懂，對不？

接下來，我問你：0.99999……和1之間，你能找到一個數嗎？

沒有的，沒有數介於0.99999……和1之間。

如果說它不是1，那麼它和1之間相差的是什麼呢？

差的是什麼？你細想。

• 是0.00000000……無限個0？

• 這是個數嗎？

• 不是，它甚至不是一個數，它是無窮小。

0後面永遠不會出現1，因為0.99999……這個數的9是在無限循環的，無限趨近於1。

如果你理解了上面這句話，你就能理解下面這句話。

0.99999……和1是等價的，且0.99999……必須等於1。

不然它們之間在數軸上要有空格，但事實是沒有空格——你找不到空格。

是不是越說越迷糊了？

其實，無窮的性質跟普通的數字完全不同。

也就是無限跟有限它不是一個概念。

很多人覺得自己懂無窮，然而你只知道無窮是【沒有盡頭】而已，或者你認為無窮是一個非常大非常大非常大的數。

這不對，無窮不是靜態的、固定的一個數，而是動態的【趨勢】。

• 無窮大就是無限增加的趨勢；

• 無窮小就是無限減小的趨勢；

• 無限接近就是一直在接近，在接近的路上不停歇。

無窮，無限還分等級。

更快的趨勢叫高階無窮。

有趣的無窮：許多人弄不懂，是因為在用有限去理解無限

比如：

• y=x^2就比y=x這個函數變化的趨勢更快，那麼y=x^2就是更高階的無窮大。

• y=1/x^就比y=1/x這個函數變化的趨勢更快，那麼y=1/x^就是比y=1/x更高階的無窮小。

0.9999……無限接近於1，沒有數比它更接近，它是接近於1的最高階無窮，它就是1。

事實上在做高等數學題時，無限趨近於1，答案就是1。

比如，lim（n→∞）1+1/n=1.

因為，當n→∞時，1/n趨向於無窮小，0.000000……

在數軸上，1+1/n跟1是等價的，因為它實質上並沒有增加一個點。

如果不理解，那就想象，0.9999……等於0.33333……×3好了。

而0.33333……就等於⅓，而⅓×3=1.

這就是本期的分享了。

謝謝閱讀，本文結束。