20世纪六七十年代, Benjamin和Ono分别在[107]和[113]中提出了一类具有奇性的Hilbert变换的发展方程
其中α, β为常数, H为Hilbert变换, 我们称之为Benjamin-Ono方程, 简称BO方程. BO方程用来描述深水中的水波运动, 也描述光学介质中的三层光学共振. BO方程与描述浅水波的Korteweg-deVries(KdV)方程以及有限深度的水波方程一起成为重要的色散型水波方程, 这三者之间还有紧密的联系. 当描述流体深度的参数δ→∞时, 有限深度水波方程逼近于BO方程;当描述流体深度的参数δ→0时, 有限深度水波方程逼近于KdV方程. 可以证明BO方程是可积系统, 具有孤立子, 不同于KdV方程的钟形孤立子, BO方程具有有限分式的代数孤立子.
1986年, 周毓麟和郭柏灵首次证明了BO方程整体光滑解的存在唯一性.之后国内外许多著名的学者都对BO方程做了大量的研究, 如T. Tao, C. E. Kenig等, 得到了L2空间上的大初值整体解等一系列结果. 在研究BO方程的过程中, 学者们提出了许多新的研究方法, 如分频分模的Bourgain空间方法等, 应用了一系列复杂的混合型工作空间, 将调和分析等工具加以充分利用.
本书的目的在于以简洁明了、通俗易懂的形式比较全面地介绍BO方程、有限深度水波方程等一些重要的数学理论、研究方法和研究成果, 以及作者的一些研究结果, 其中包括能量空间和Bourgain空间上的整体解的存在性、唯一性、低正则性、渐近性以及孤立波解的轨道稳定性和渐近稳定性等. 我们希望本书的出版有助于数学和物理研究工作者, 特别是有些年轻的研究人员, 能从中对BO方程有一个概括性的了解. 如果对这些有兴趣, 可以查阅本书所列有关文献, 更快、更深入地开展BO方程新的研究工作.
[107] Benjamin T B. Internal waves of permanent form in fluids of great depth. J. Fluid Mech., 1967, 29: 559-592.
[113] Ono H. Algebraic solitary waves in stratieduids fluids. J. Phys. Soc. Japan, 1975, 39: 1082-1091.
深水中的 Benjamin-Ono 方程及其怪波解
郭柏灵 等 著
北京：科学出版社
ISBN 978-7-03-071508-1
责任编辑: 李 欣， 李 萍
深水中的Benjamin-Ono(BO)方程是一类非常重要的非线性色散方程，具有广泛的物理背景和应用背景。该类方程存在一类具有有限分式的代数孤立子，并且属于可积系统。本书给出该类方程的物理背景并阐述其怪波解，着重研究几种重要类型的BO方程的数学理论，其中包括在能量空间和Bourgain空间上的整体解的存在性、唯一性和低正则性等。同时本书研究了中等深度水波方程的广义解、解的渐近性和极限性质、广义KP方程和二维BO方程解的爆破性质，以及利用稳定性理论和谱分析的方法介绍了BO方程孤立波解的轨道稳定性和渐近稳定性。
目录速览
前言
第1章 Benjamin-Ono方程的物理背景及其怪波解 1
1.1 引言 1
1.2 Benjamin-Ono方程及其孤立波解的推导 1
1.3 底层方程(0≤y＜h0) 3
1.4 上层方程(y≥h0)和y=h0的匹配 6
1.5 关于方程(1.4.51)的守恒律 8
1.6 方程(1.4.51)的定常行波 9
1.7 有限深度流体的孤立波 11
第2章 Benjamin-Ono方程初值问题的光滑解 13
2.1 含扩散项的广义Benjamin-Ono方程 13
2.2 先验估计 16
2.3 广义解 21
第3章 Benjamin-Ono方程的整体低正则解 23
3.1 引言 23
3.2 Benjamin-Ono方程的适定性研究现状 23
3.3 Benjamin-Ono方程在L2空间上的大初值整体解 25
3.4 Gauge变换 27
3.5 工作空间的构造 30
3.6 空间Zk的性质 33
3.7 线性估计 39
3.8 局部的L2估计 44
3.9 双线性估计Low×High→High 50
3.10 双线性估计High×High→Low 61
3.11 光滑有界函数的乘子估计 67
3.12 定理3.3.1的证明 76
第4章 KdV-BO-Hirota方程的Hs解 90
4.1 简介 90
4.2 预备知识 92
4.3 局部结果 94
4.4 Hirota方程在Hs(1≤s≤2)上的整体解 96
第5章 BO长短波方程的Hs解 97
5.1 引言 97
5.2 某些估计的引理 98
5.3 非线性估计 101
第6章 中等深度水波方程的广义解 111
6.1 引言 111
6.2 奇性积分算子G(u)的某些性质 112
6.3 方程(6.1.6)对α>0的可解性 116
6.4 方程(6.3.13)局部解的存在性,α=0 118
6.5 方程(6.3.13)的整体可解性 120
第7章 中等深度水波方程解的渐近性 126
7.1 引言 126
7.2 一些引理 127
7.3 线性估计 131
7.4 非线性问题的衰减估计 137
第8章 中等深度水波方程的极限性质 141
8.1 引言 141
8.2 广义有限深度水波方程的整体适定性 141
8.3 线性估计 146
8.4 小初值整体适定性 161
8.4.1 工作空间E的构造 161
8.4.2 定理8.2.6的证明 164
8.4.3 定理8.2.5的证明 171
8.5 解的极限行为 176
8.5.1 解的正则性 176
8.5.2 当δ→0时解对KdV方程的逼近 178
8.5.3 当δ→∞时解对Benjamin-Ono方程的逼近 183
第9章 广义KP方程和二维Benjamin-Ono方程解的爆破 188
9.1 引言 188
9.2 局部结论 189
9.3 爆破结论 194
第10章 广义随机Benjamin-Ono方程的初值问题 200
10.1 引言 200
10.2 预备知识 203
10.3 双线性估计 206
10.4 三线性估计 210
10.5 局部适定性 213
10.6 定理10.1.2的证明 214
第11章 KdV-BO方程的低正则性问题 225
11.1 引言 225
11.2 预备知识 227
11.3 l=2时的局部解 231
11.4 定理11.1.4的证明 237
第12章 Benjamin-Ono方程孤立波解的轨道稳定性 239
12.1 孤立波解的存在性 239
12.2 主要结果 241
第13章 Benjamin-Ono方程孤立波解的渐近稳定性 245
13.1 引言 245
13.2 一些单调性结果 247
13.2.1 准备工作 247
13.2.2 调制引理 248
13.2.3 u(t)的单调性 249
13.2.4 η(t)的单调性 258
13.3 线性Liouville定理 262
13.3.1 假设二次型正定下证明定理13.3.1 263
13.3.2 对偶问题的正定二次型 276
13.4 渐近稳定性 280
13.4.1 定理13.1.1的证明 280
13.4.2 定理13.1.2的证明 284
13.4.3 注记13.1.3的证明 292
13.5 多个孤立子的情况 294
13.5.1 稳定性理论的概括 295
13.5.2 定理13.5.1的证明概括 296
13.6 弱收敛和适定性结果 299
13.6.1 弱收敛 299
13.6.2 非线性BO方程的适定性结果 300
参考文献 310
（本文编辑： 王芳）
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