编辑：Aeneas 好困
【新智元导读】最近的数学圈，都被椭圆曲线的murmuration（椋鸟群飞）现象震惊了。由经验不足的本科生无意中做出的这个成果，竟让一位华人数学家离「千禧年问题」更近了一步。而且这次数学难题的破解，是由AI来完成的！
用AI研究数学领域，最近又有重大发现了。
这次数学家们用AI发现的，是椭圆曲线中的murmuration（椋鸟群飞）现象。
他们发现，如果以正确的方式观察，在椭圆曲线中会出现像飞行中的椋鸟群一般的图案。
现在，murmuration相关研究已经轰动了数学圈，每周都有相关新研究问世。
令人不可思议的是，这个发现是由数个偶然组成的——
椭圆曲线的数据，恰巧按照conductor来排序；一个经验不足的本科生，恰巧没有处理某个数值，让曲线的震荡极为明显；按照conductor预排序的数据集，恰巧被人提前做了出来……
任何一个要素的变动，都会导致人类与这一重要的数学发现失之交臂，或许再晚上几十年……
并且，被陶哲轩认证的说法再次被证实：数学家们要做好准备了，AI将在十年内，赶上甚至超过最优秀的人类数学家！
七大千禧年难题之一
椭圆曲线，一直是现代数学中最迷人的对象之一。
它看似简单，却是把高中数学连接向深奥的数学研究的一条快速通道。
它是1990年代Andrew Wiles证明费马大定理过程中的核心，还是现代密码学的关键工具。
在2000年，克莱数学研究所将椭圆曲线统计特性的一个猜想，列为七大「千禧年问题」之一，悬赏100万美元的奖金。
在1960年代，这一猜想被数学家Bryan Birch和Peter Swinnerton-Dyer提出，至今尚未得到证明。
因此，深入探索椭圆曲线，已经成为了数学领域的一项重要的高风险任务。
果然，有人想到了用AI向椭圆曲线难题发起了冲击。
在2022年，数学家利用统计技术和AI，竟然在椭圆曲线上发现了一些出乎意料的全新特性！
他们发现：如果以正确的方式观察，椭圆曲线就能「像椋鸟成群结队一样飞翔」。
任教于普林斯顿大学和高级研究院的数学家Peter Sarnak表示：「机器学习总会给我们带来一些意料之外的惊喜！」
椭圆曲线上为什么会出现这些特性呢？刚发现时，许多数学家感到非常困惑。
近期的一些研究发现，这些类似椋鸟群飞翔时不断变化的形状（murmuration），并不仅仅是2022年研究中的特例，而是椭圆曲线普遍的共性。
神奇的椭圆曲线
要弄明白这些模式究竟是什么，我们首先得对椭圆曲线及其分类有所了解。
椭圆曲线是通过一个变量（通常用y表示）的平方与另一个变量（通常用x表示）的三次方之间的关系来定义的：y^2=x^3+Ax+B，这里的A和B是满足几个简单条件的一对数值。
椭圆曲线方程定义了一条可以在平面上绘制的曲线，如下所示。
虽然看起来很普通，但对于数论学者来说，椭圆曲线却是非常强大的工具。
这是因为，数论学者需要在整数中寻找规律。他们不喜欢让变量x和y所有数字中取值，而是希望将它们限制在特定的数系中，也即在给定的数系上定义一个曲线。
而仅限于有理数的椭圆曲线，在数论的研究中格外有用。
普林斯顿数学家Sarnak说，「实数或复数域上的椭圆曲线非常单调，真正有深度的，是定义在有理数域上的椭圆曲线。」
下面这个例子，可以证明这一点。
如果我们在椭圆曲线上任意两个有理点之间画一条直线，那么这条线再次与曲线相交的位置，也会是有理点。
利用这个性质，我们可以在椭圆曲线上定义一种「加法」运算，如下图所示。
在点P和点Q之间画一条直线，这条直线将与曲线相交于第三点R。（如果这条直线不与曲线相交呢？数学家们就会巧妙地添加一个「无穷远处的点」。）
接下来，就是见证奇迹的时刻——R沿x轴的镜像点，就是P+Q的和！
结合这种加法运算，曲线的所有解，就形成了一种称为「群」的数学对象。
而数学家正是借助这种方式，来定义曲线的「秩」。
曲线的秩反映了它拥有的有理数解的数量：秩为0的曲线只有有限个解，而那些秩较高的曲线，则有无限个解。
而这些解之间的加法运算关系，就是用秩来描述的。
秩的概念不是那么容易理解。数学家并不总是有办法计算出秩的数值，也不能确定它的最大值能达到多大。（目前已知的某个特定曲线的最大精确秩是20。）
而外观相似的曲线，也可能拥有完全不同的秩。
此外，椭圆曲线还与质数（只能被1和自身整除的数）有着紧密的联系。
因此，数学家还特意研究了在有限域上的曲线。
有限域是一种围绕每个质数定义的循环算术系统。
我们可以把有限域想象成一个时钟，其「小时数」就等同于该质数：到达这个质数时如果你继续往后数，数字就会从0开始。
例如，在质数7构成的有限域中，5加2的结果是0，5加3的结果是1。
每个椭圆曲线，都有一个称为a_p的数列，这个序列反映了由质数p定义的有限域内椭圆曲线的解的数量。
如果a_p的值较小，曲线的解就更多；反之，a_p的值较大，则解的数量更少。
尽管计算曲线的秩相当复杂，但是找出a_p序列却容易得多。
基于一台非常早期的计算机上计算出的成果，数学家Birch和Swinnerton-Dyer提出了一个猜想。
他们认为，椭圆曲线的秩与a_p序列之间存在特定的关系。
谁要是能证明他们的猜想是正确的，不仅能赢得一百万美元的奖金，还将在数学史上青史留名。
AI有了惊人发现
然后，我们就来到了这位华人研究员的故事。
在2020年，英国皇家学会伦敦数学科学研究所的研究员Yang-Hui He（何杨辉），决定借助AI来挑战椭圆曲线问题。
何教授本科学的是物理，然后在MIT取得了数学物理博士学位。
但随着时间的推移，他对数论的兴趣与日俱增，并且开始考虑用AI来探索数字中的未知规律。
此前，他就已经开始利用机器学习，对弦论中广泛使用的Calabi-Yau流形进行分类了。
论文地址：https://arxiv.org/abs/1812.02893
但随后，他就感觉到了强烈的受挫。
在2020年8月，何杨辉在诺丁汉大学的一场在线讲座中，表达了自己对于用AI发现数学新知识的悲观看法。
当时，他是这么说的：「我没有任何进展，因为我不是这一领域的专家。我甚至都没有找到正确的方法。」
当时的听众之一、威斯敏斯特大学的数学家Thomas Oliver回忆道，他之所以认为数论很难，是因为无法简单地把机器学习应用在数论研究中。
由左至右：Kyu-Hwan Lee，Thomas Oliver，何杨辉
后来，Thomas Oliver便叫上康涅狄格大学的数学家Kyu-Hwan Lee一同，与何杨辉展开了更深度的合作。
「我们最初的目的，只是想了解一下机器学习是什么，而不是真的去深入研究数学，」Oliver说。「但很快，我们发现机器学习可以帮我们理解许多问题。」
Oliver和Lee建议，大家可以用AI研究L函数，即通过序列a_p与椭圆曲线密切相关的无穷级数。
为此，他们利用椭圆曲线及其相关L函数的在线数据库（LMFDB），训练了一个极其学习分类器。
这个数据库收录了超过300万条有理数范围内的椭圆曲线及其相关的L函数。
2020年10月，他们发表了一篇论文，通过分析L函数的信息，来预测椭圆曲线的特定性质。
论文地址：https://arxiv.org/abs/2010.01213
11月，他们再次发表论文，利用机器学习对数论中其他对象进行了分类。
论文地址：https://arxiv.org/abs/2011.08958
到了12月，他们已经能够准确预测椭圆曲线的等级。
论文地址：https://arxiv.org/abs/2012.04084
但即便如此，三人都搞不明白，为什么机器学习算法会如此有效。
本科生接手研究
Lee把揭开这一谜团的任务，交给自己的本科生Alexey Pozdnyakov。
康涅狄格大学的本科生Alexey Pozdnyakov是世界上第一个观察到这种模式的人
Pozdnyakov是这样入手的。
LMFDB通过一个叫做conductor的量，来对椭圆曲线进行分类，这个量概括了曲线在某些质数上表现不佳的信息。
于是，Pozdnyakov尝试同时研究大量具有相似conductor值的曲线，比如conductor值为7,500到10,000之间的所有曲线。
总的来说，这项研究涵盖了大约10,000条椭圆曲线。其中，有大约一半的秩为0，另一半的秩为1（更高秩的曲线极其罕见）。
接着，Pozdnyakov分别计算了秩为0和秩为1的曲线的a_p值的平均数，并将这些数据绘制成图。
结果显示，这两组数据形成了两个截然不同、清晰可辨的波。
而这，就是机器学习能够准确预测特定曲线等级的原因。
最初，Pozdnyakov只是很高兴自己完成了导师交代的任务。
Kyu-Hwan教授立刻敏锐地意识到，这其中绝对有不寻常的发现！
当Lee教授和Oliver教授知道后，他们也非常惊喜。
Pozdnyakov向他们展示了上面的那张图，他们立刻联想到了鸟群在空中飞行时形成的图案。
Kyu-Hwan教授随后查到，这种现象叫做murmuration。
何教授随后提议，将论文命名为「椭圆曲线的murmuration」。
论文地址：https://arxiv.org/abs/2204.10140
论文引起强烈反响
2022年4月，他们将论文上传，分享给一些数学家。
大家忐忑地想，或许这个所谓的发现早就为人熟知，毕竟曲线实在太明显了。
然而，出乎他们意料的是，论文一经发布，立刻引起了数学界的轰动。
MIT科学家Andrew Sutherland对此尤为感兴趣。
Andrew Sutherland
作为LMFDB的管理编辑之一，Sutherland发现，原有的300万条椭圆曲线对于他的研究目标来说，是远远不够的。
他希望通过研究更大范围的conductor，来检验所谓的「murmuration」是否具有普遍性。
因此，他从另一个拥有约1.5亿条椭圆曲线的庞大数据库中提取了数据。但他对此仍然不满足，于是又从另一个包含3亿条椭圆曲线的数据库中再次提取数据。
但是这些还不够！
最后，Sutherland的数据集，包含了超过10亿的椭圆曲线。通过这个数据集，绘制出了非常高清的图像。
他发现，无论是是15000条椭圆曲线，还是100万条，这种「murmuration」始终都会显现。
更令人惊讶的是，即使在椭圆曲线涵盖的质数范围越来越大时，这种图形的形状依然保持不变，这种现象被称为「尺度不变性」。
Sutherland还发现，这种「murmuration」不仅存在于椭圆曲线中，也会出现在更一般的L函数中。
他将这些发现发送给了滑铁卢大学的Michael Rubinstein教授和Sarnak教授。
他对此百思不得其解：「如果这背后有一个已知的原因，我相信你们一定能告诉我」。
然而，他们对此也一无所知。
新公式诞生，数学圈被引爆
2023年8月，何杨辉、Lee和Oliver在布朗大学的计算与实验数学研究所（ICERM）举办了一场专门探讨murmuration的研讨会，并吸引了包括Sarnak和Rubinstein在内的众多学者参与。
会上，Sarnak的学生Nina Zubrilina介绍了自己在模形式中，针对murmuration的研究成果。模形式是一种特殊的复函数，它们与椭圆曲线相似，都有对应的L函数。
Zubrilina发现，在conductor较大的模形式中，murmuration呈现出一种趋向于集中成一条清晰的曲线，而非分散的模式。
随后，她在2023年发表的一篇论文中，证明了这种murmuration遵循一个明确的公式。
论文地址：https://arxiv.org/abs/2310.07681
Sarnak对此评价道：「Nina的重大贡献在于她提出了一个『Zubrilina murmuration密度公式』。她运用了高深的数学知识，证明了一个与数据完美吻合的精确公式。」
尽管这个公式相当复杂，但Sarnak认为它是一种重要的新型函数，甚至可以和定义微分方程解的艾里函数相媲美——后者定义了在物理学中各种情况下使用的微分方程的解，从光学到量子力学。
而Zubrilina公式的提出，直接引爆了这个领域，现在几乎每周都有相关的新论文发布。
Sarnak解释说，这些研究主要是采用Zubrilina的方法，进一步探讨murmuration的不同方面。
Jonathan Bober、Andrew Booker和Min Lee来自布里斯托大学，他们与ICERM的David Lowry-Duda合作，在一篇10月份的论文中证明了模形式存在一种不同的murmuration。
此外，Kyu-Hwan Lee、Oliver和Pozdnyakov还证明了在被称为狄利克雷特征的对象中存在murmuration，这些对象与L函数有着密切的联系。
数学的重大发现，有很多「偶然」
如今回想起来，对于这一发现背后所需的重大运气，Sutherland仍然会不住感慨。
如果当初，椭圆曲线的数据没有按照conductor来排序，那么murmuration可能就不会被发现。
「他们很幸运地使用了LMFDB中已经按conductor预排序的数据，这是关联椭圆曲线和对应模形式的关键，但这并不是显而易见的……两个方程式看似相似的曲线，其conductor却可能大相径庭。」
例如，方程y^2=x^3–11x+6的conductor是17，而将减号改为加号后，y^2=x^3+11x+6的conductor则为100,736。
不仅如此，murmuration的发现，也在一定程度上多亏了本科生Pozdnyakov的经验不足。
「如果没有他，我们可能不会发现这一点，」Oliver说，「因为专家通常会把a_p的绝对值归一化为1。但他没有这样做……因此，振荡才变得非常明显。」
Oliver指出，AI算法用于按等级排序椭圆曲线的统计模式，存在于一个具有数百维的参数空间中——这对人类来说太复杂了，难以在脑海中排序，更不用说可视化了。
虽然是机器学习首先发现了这些隐藏的振荡，但数学家们直到后来才明白，这些振荡实际上就是murmuration。
Yang-Hui He 何杨辉
何杨辉是一位杰出的数学物理学家，目前是伦敦数学科学研究所的研究员，以及牛津大学默顿学院的导师。
与此同时，何教授还在伦敦大学城市学院担任数学客座教授，在南开大学担任长江学着讲座教授，并且还是STEMM全球科学协会主席。
何教授的研究工作横跨量子场理论、弦理论、代数几何和数论等多个领域，并深入探索AI和机器学习在这些问题中的应用，是利用AI进行纯数学研究的领域先驱之一。
目前，何教授已发表超过200篇科学论文，并定期举行公开讲座。此外，他还积极参与科普活动，担任BMUCO顾问和One Garden研究员，致力于将科学知识普及给更广泛的公众。
何杨辉在1975年9月出生于中国芜湖，在中国和澳大利亚度过了他的小学时光，随后在澳大利亚和加拿大完成了高中学业。
1996年，何杨辉以最高荣誉（summa cum laude，同时获得Allen Shenstone奖和Kusaka Memorial奖）从普林斯顿大学获得物理学学士学位，并同时取得了应用数学和工程物理的双重证书。
紧接着，他在1997年以优异的成绩从剑桥大学获得了硕士学位，并在2002年在麻省理工学院理论物理中心完成了他的博士学位研究（获得了美国国家科学基金会奖学金和麻省理工学院总统奖）。
完成在宾夕法尼亚大学的博士后工作后，何杨辉加入牛津大学，担任FitzJames研究员和英国STFC高级研究员。
参考资料：
https://www.quantamagazine.org/elliptic-curve-murmurations-found-with-ai-take-flight-20240305/
