「初中数学第42讲」三角形的内角和定理相关习题及答案解析

1.如图，等腰三角形ABC中，顶角∠A=36°，BD平分∠ABC，D点是AC的黄金分割点，若AC=4cm，则BD=______cm（结果保留三个有效数字）

2.在△ABC中，A1、A2、…A5为AC边上不同的点，连接BA1，图中有3个不同的三角形；再连接BA2，图中有6个不同的三角形；如此继续下去，当连接BA5时，则图中不同的三角形共有______个。

3.如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An-1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An，设∠A=θ，则：

（1）∠A1=（ ）；

（2）∠An=（ ）。

4.已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：3：5，则△ABC是 ______三角形。

5.一个三角形三边长之比为2：3：4，周长为36cm，求此三角形的三边长。

6.按要求完成作图，并回答问题：如图，三角形ABC中

（1）画线段BC的中点D，并连接AD；

（2）过点A画BC的垂线，垂足为E；

（3）根据上述作图，若∠ABC=60°，则∠BAE= ______，若BD=2cm，则BC= ______cm；

（4）用“<”、“=”、“>”填空：AB+AC_______BC，根据_________．

7.下面命题中：

（1）旋转不改变图形的形状和大小

（2）轴反射不改变图形的形状和大小

（3）连接两点的所有线中，线段最短

（4）三角形的内角和等于180°

属于公理的有（ ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

8.已知一个三角形中有两个内角之和为n°，最大角比最小角大24°，则n的取值范围是______。

9.下列四种说法：

①若一个三角形三个内角的度数比为2：3：4，则这个三角形是锐角三角形。

②“掷两枚质地均匀的正方体骰子点数之和一定大于6”是必然事件。

③购买一张彩票可能中奖。

④已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为100°。

其中正确的序号是______

10.下列判断的语句中，错误的是（ ）

A．三角形三个内角的和等于180度

B．经过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线

C．射线AB和射线BA表示同一条射线

D．有两个内角等于60°的三角形一定是等边三角形

//////////

不要偷看答案

//////////

==========

1.

【解析】

∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

又BD平分∠ABC，

∴∠ABD=36°，

∴BD=AD，

∵D点是AC的黄金分割点，

∴BD=AD≈4×0.618≈2.47cm

【答案】2.47

2.

【解析】

连接BA1时，有△AA1B、△ACB、△A1CB共3个，

再连接BA2时，有△AA1B、△AA2B、△ACB、△A1A2B、△A1CB、△A2CB共6个，

…，

依此类推，再连接BAn时，共有三角形个数为：

(n+1)(n+2)

2

所以，当连接BA5时，不同的三角形共有

(5+1)(5+2)

2

=21

【答案】21

3.

【答案】

（1）

；（2）

4.

【解析】

设∠A=x，∠B=3x，∠C=5x，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴x+3x+5x=180°，

解得：x=20°，

∴∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°，

∴△ABC是钝角三角形

【答案】钝角

5.

【解析】

设三边长分别为2x，3x，4x，

由题意得，2x+3x+4x=36，

解得：x=4

【答案】

三边长为：8cm，12cm，16cm

6.

【答案】

（1）分别以B，C为圆心，

大于

BC为半径画圆，两圆相交于F，

过F作FD⊥BC于D，则点D即为BC的中点；

（2）过点A画BC的垂线，垂足为E；

（3）∵在△ABE中，∠ABC=60°，

∠AEB=90°，

∴∠BAE=180°﹣60°﹣30°=30°，

BD=2cm，则BC=2BD=4cm；

（4）AB+AC>BC，根据两点之间线段最短．

7.

【解析】

（1）旋转不改变图形的形状和大小，正确且是公理；

（2）轴反射不改变图形的形状和大小，正确且是公理；

（3）连接两点的所有线中，线段最短，正确且是公理；

（4）三角形的内角和等于180°，正确但不是公理。

综上可得（1）（2）（3）正确

【答案】C

8.

【解析】

设△ABC三内角为∠A，∠B，∠A+24°，且∠A≤∠B≤∠A+24°．

当∠A=∠B时，n=∠A+∠B，可得n有最小值104°，即n≥104°．

当∠B=∠A+24°时，n=∠B+（∠A+24°），可得n有最大值136°，即n≤136°

【答案】104°≤n≤136°

9.

【解析】

①若一个三角形三个内角的度数比为2：3：4，即可得出2x+3x+4x=180°，解得：x=20°，

∴三角形三个内角的度数分别为：40°，60°，80°，

∴这个三角形是锐角三角形；故此选项正确；

②“掷两枚质地均匀的正方体骰子点数之和一定大于6”是必然事件；根据掷两枚质地均匀的正方体骰子也可能出现两点数之和小于6，故此是随机事件，

故此选项错误；

③购买一张彩票可能中奖；是随机事件，故此选项正确；

④已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为100°，此三角形顶角也可能是40°，故此选项错误。

【答案】①③

10.

【解析】

A、符合三角形的内角和定理，故本选项正确，不符合题意；

B、是垂线的性质，故本选项正确，不符合题意；

C、射线AB和射线BA的端点不同，延伸方向不同，故本选项错误，符合题意；

D、符合等边三角形的判定，故本选项正确，不符合题意。

【答案】C