7数培优：解一次方程组问题中的整体思想活用宝典

所谓整体思想，就是在解题时，从整体考虑问题，根据题目结构特征，把一组数或某个代数式看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在联系，获取解题途径。利用这种思想方法，常可以化繁为简，化难为易。现举例说明整体思想在解一次方程组中的应用，供学习时参考。

类型1 活用整体思想求解方程组

1、整体代入

点评：本题妙在把（x+y）当作整体代入后直接求出了y的值，进而得到x的值。

2、整体加减

点评：针对本题中系数特征，巧妙地将两个方程进行整体相加（减），进而迅速求解。

3、整体换元

点评：若将此方程组去括号展开，有较大的计算量。通过观察可以发现，原方程组两个方程中的括号内分别相同，可以看作整体设元求解，再求出x和y的值。

4、整体消元

点评：把某一个代数式看成一个“整体”进行整体代入或整体加减，从而达到消元的目的。一般说来，当两个方程组都含有相同的代数式时，常把这个代数式看成一个整体。以简化运算。

5、整体叠加

点评：当方程组中的未知数具有轮换对称性时，可将方程组中的方程直接相加减，此即所谓的整体叠加法。

类型2 活用整体思想求值

类型3、活用整体思想求解实际

8、（2018春•资中县期中）问题：有甲、乙、丙三种商品，①购甲3件、乙5件、丙7件共需490元钱；②购甲4件、乙7件、丙10件共需690元钱；③购甲2件，乙3件，丙1件共需170元钱．求购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少元？

小明说：“可以根据3个条件列出三元一次方程组，分别求出购甲、乙、丙一件需多少钱，再相加即可求得答案．”

小丽经过一番思考后，说：“本题可以去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求出答案．”针对小丽的发言，同学们进行了热烈地讨论．

（1）请你按小明的思路解决问题．

（2）小丽的说法正确吗？如果正确，请完成解答过程；如果不正确，请说明理由．

（3）请根据上述解决问题中积累的经验，解决下面的问题：学校购买四种教学用具A、B、C、D，第一次购A教具1件、B教具3件、C教具4件、D教具5件共花2018元；第二次购A教具1件、B教具5件、C教具7件、D教具9件共花3036元．求购A教具5件、B教具3件、C教具2件、D教具1件共需多少元？

点评：本题的解法运用了整体构造的思想方法，显得匠心独运，绝妙无伦，体现了整体思维方法的敏捷性、灵活性和跳跃性。