抽丝剥茧，详细解析初中数学题52

已知a，b，x，y为正实数，且a²+b²=1，x²+y²=1。

求证:ax+by≤1

解析：因为a，b，x，y都为正实数，

所以根据a²+b²=1，x²+y²=1，

可以构造两个直角三角形，

但因为两个直角三角形斜边相等，

我们可以联想到圆的直径所对的圆周角90°，

构造一个圆和它的直径所对的两个直角三角形，

如下图所示:

在⊙O中，直径AB=1，

在Rt△ACB中，

令AC=a，BC=b

由a²+b²=AC²+CB²=AB²=1;

在Rt△ADB中，

令BD=x，AD=y，

由x²+y²=BD²+AD²=AB²=1;

综上，构造的⊙O和两个直角三角形符合题意，

则ax+by=AC·BD+CB·AD。

如果你还记得托勒密定理，

那么则有：

AC·BD+CB·AD=AB·CD。

因为AB是直径，

所以CD≤AB，

所以AC·BD+CB·AD≤AB²=1，

即ax+by≤1。

附:托勒密定理：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两对对边乘积之和。

如下图所示，ABCD为圆内接四边形，则对角线AC与BD的乘积等于一对对边AB与CD的乘积加上另一对对边AD与BC的乘积，即

AC·BD=AB·CD+AD·BC。