丽丽讲给孩子的数学9：为什么说0.9999……=1？

0.99999……=1，跟我们的直观感觉不同。

明明0.99999……没到1呀，怎么就等于1了呢？

数学就是这么反直觉，但是又确实是这么回事。

下面我们来说明一下。

首先，咱们说一个大家都能懂的证明。

我们令n=0.99999……

下一步，两边等式两边同时乘以10，于是得到：

10n等于9.99999……

没毛病，对不对？

好，我们再两边同时减去一个n，于是得到：

9n=9（n＝0.99999……我们前面设定过）

那么，我们再两边同时除以9，得到n=1，也就是说0.99999……=1

这是一个中学生都能看懂的证明，证明结果就是这样，让人不得不信。

可是你就是感觉奇怪，为了说服自己，我们需要点【极限与无穷】的知识了。

极限与无穷

0.99999……，是一个无限循环小数，它无限趋近于1。

这一步能懂吧？

在数轴上，0和1之间，你可以说还有无限个数。

哪怕是0.9和1之间，你都能找到无限个数——到这一步，你也能懂，对不？

接下来，我问你：0.99999……和1之间，你能找到一个数吗？

没有的，没有数介于0.99999……和1之间。

如果说它不是1，那么它和1之间相差的是什么呢？

差的是什么？你细想。

• 是0.00000000……无限个0？

• 这是个数吗？

• 不是，它甚至不是一个数，它是无穷小。

0后面永远不会出现1，因为0.99999……这个数的9是在无限循环的，无限趋近于1。

如果你理解了上面这句话，你就能理解下面这句话。

0.99999……和1是等价的，且0.99999……必须等于1。

不然它们之间在数轴上要有空格，但事实是没有空格——你找不到空格。

是不是越说越迷糊了？

其实，无穷的性质跟普通的数字完全不同。

也就是无限跟有限它不是一个概念。

很多人觉得自己懂无穷，然而你只知道无穷是【没有尽头】而已，或者你认为无穷是一个非常大非常大非常大的数。

这不对，无穷不是静态的、固定的一个数，而是动态的【趋势】。

• 无穷大就是无限增加的趋势；

• 无穷小就是无限减小的趋势；

• 无限接近就是一直在接近，在接近的路上不停歇。

无穷，无限还分等级。

更快的趋势叫高阶无穷。

有趣的无穷：许多人弄不懂，是因为在用有限去理解无限

比如：

• y=x^2就比y=x这个函数变化的趋势更快，那么y=x^2就是更高阶的无穷大。

• y=1/x^就比y=1/x这个函数变化的趋势更快，那么y=1/x^就是比y=1/x更高阶的无穷小。

0.9999……无限接近于1，没有数比它更接近，它是接近于1的最高阶无穷，它就是1。

事实上在做高等数学题时，无限趋近于1，答案就是1。

比如，lim（n→∞）1+1/n=1.

因为，当n→∞时，1/n趋向于无穷小，0.000000……

在数轴上，1+1/n跟1是等价的，因为它实质上并没有增加一个点。

如果不理解，那就想象，0.9999……等于0.33333……×3好了。

而0.33333……就等于⅓，而⅓×3=1.

这就是本期的分享了。

谢谢阅读，本文结束。