認知即思索：一個永遠不會彎曲的神奇函數

筆者向大家介紹一個不可思議的函數,它叫魏爾斯特拉斯函數。

在數學分析發展的初期，由於研究函數的工具有限，人們一直認為：連續函數在其定義區間 中，除去「可數的不可導點」以外的點都是可導的．也就是說，連續函數的不可導點至多是有限的：

上面這個函數只有一個點b不可導

然而，對於神奇的魏爾斯特拉斯函數，它完全顛覆了世人的認知。

世界上有沒有一條線永遠不會彎曲？這個問題被許多數學家所重視。早期的許多數學家包括高斯，都曾認為連續函數不可導的部分是有限的。1872年，德國數學家魏爾斯特拉斯利用項級數構造出了處處連續卻處處不可導的函數：

這個函數的表達式長這樣子，同時它必須滿足很多條件，否則函數就不長上面這樣子了：

滿足條件的ab可以任意取值

看見w（x）是這種累加形式的，大家莫慌，讓我們展開來看看它的模樣：

維爾斯特拉斯

從形狀上看，維爾斯特拉斯函數是個連續的函數，圖形好像長了刺，放大任何一部分都不會找到平滑的地方。同時，這個函數具有自相似性：就像曼德勃羅集那樣「無限套娃」。

維爾斯特拉斯函數具有任何局部的放大都與整體相似的性質，這個性質在數學上稱為分形。

維爾斯特拉斯函數的神奇之處在於其每一點的斜率都不存在，連續卻處處不可導，它本來就沒有「曲」的概念：

至此，魏爾斯特拉斯終止了數學家們想要證明連續性蘊含可微性的企圖，也使得數學家們更加不敢依賴直觀或者幾何的思考了。