函數奇偶性的判定方法和相關知識總結

一、函數奇偶性的概念

1. 一般地，對於函數f(x)，如果對於函數定義域內任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那麼函數f(x)就叫做偶函數。

一般地，對於函數f(x)，如果對於函數定義域內任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那麼函數f(x)就叫做奇函數。

註：奇偶性是針對整個定義域而言的，而單調性是針對定義域內的某個區間而言的，定義域關於原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件。

2.按奇偶性分類，函數可分為四類：

奇函數非偶函數、偶函數非奇函數、非奇非偶函數、亦奇亦偶函數.

3、奇偶函數的圖象：

奇函數的圖象關於原點成中心對稱，偶函數的圖像關於y軸對稱。

奇函數

偶函數

4、函數奇偶性的性質：

①具有奇偶性的函數，其定義域關於原點對稱

②若f(x)是奇函數，且x在0處有定義，則f(0)＝0。

③奇函數在關於原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性完全相同，最值相反；偶函數在關於原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性恰恰相反，最值相同

④任意定義在R上的函數f(x)都可以唯一地表示成一個奇函數與一個偶函數的和。

⑤如果有函數g(x)和f(x)，則他們的複合函數f[g(x)]的定義域是關於原點對稱的。當u=g(x)，y=f(u)都是奇函數時，y=f[g(x)]是奇函數；當u=g(x)，y=f(u)都是偶函數或者一奇一偶時，y= f[g(x)]是偶函數。

複合函數的奇偶性特點是：「內偶則偶，內奇同外」.

5.幾個與函數奇偶性相關的結論：

①奇函數+奇函數=奇函數；偶函數+偶函數=偶函數；

②奇函數×奇函數=偶函數；奇函數×偶函數=奇函數。

二、判斷函數奇偶性的步驟：

①、求f(x)定義域，判斷定義域是否關於原點對稱；不對稱則是非奇非偶函數，對稱轉下一步

②、化簡f(x),再求f(-x),比較兩者的關係

③、根據定義定義得出結論。

三、抽象函數奇偶性的判斷

方法：判斷抽象函數的奇偶性常用賦值法。在已知抽象函數關係中湊出f(-x）+f(x)或者f(-x)-f(x).一般先去探求f(0)的值（或者f(1)、f(-1)的值），再令y=-x,從而產生f(-x）和f(x)的關係。