全體自然數的和竟然是-1/12嗎？

【譯者按：閱讀本文需要一定數學基礎，可以參考：無窮和的記法、無窮級數的一些性質】

曾經，有個閃瞎眼的數學結論風靡一時，它說：把所有自然數加起來（1+2+3+4……），得到的結果是-1/12。下面這個視頻說的就是這件事，它說自己證明了這個結果，而且還說這個結果在物理學裡很常用。大家都覺得自己的小學算術白學了，連《紐約時報》（需翻牆——譯者按）也做了報道。那麼，那個視頻到底在說什麼呢？

首先我可以給大家吃一顆定心丸：所有自然數的和不等於-1/12。拿起計算器，算算這些部分和你就明白了：

以此類推。n取得越大，也就是加進去的自然越多，Sn就越大。只要n夠大，你想讓Sn有多大就能讓它有多大。例如，對n=1000可得

對n=100000可得

所以，數學家認為1+2+3+4+……發散到無窮大。或簡單說就是它等於無窮大。

那麼-1/12是從哪冒出來的？這個錯誤結果其實是著名的印度數學家拉馬努金（上圖）在1913年搞出來的。拉馬努金很清楚自己在幹什麼，他寫出這個結果是有理由的。他當時在研究歐拉ζ函數。關於這個函數，我們先來看看下面這個和

可以看出，它是把每個自然數平方後取倒數加起來的和：

這個和不發散。如果像上面那樣寫出它的部分和序列：

後面的結果可以任意接近（而不超過）π^2/6=1.644934……。數學上稱它的和收斂於π^2/6，或就說它的和等於π^2/6。

如果分母不取2次冪，而取x呢？相應的和式列出如下：

只要x是大於1的數，上式就能收斂到一個有限值。對每個x>1，S(x)都有一個確定的值，這樣的式子稱為函數，而S(x)則特別以17世紀傑出的數學家歐拉之姓命名為歐拉ζ函數。

到現在都還好。但如果向其中代入小於1的數會怎樣？比如，如果代入x=-1，就有

這樣就回到了我們最開始的和式，我們知道它是發散的。同樣的結果對其它小於等於1的x都一樣：和式發散。

不過，我們還是能搞出點名堂來。用點高級的數學（稱為複分析，見小貼士）我們可以將歐拉ζ函數的定義域拓展到x小於等於1並讓它給出有限值。換句話說，就是有一種方法可以定義一個新函數ζ(x)，對x>1

而對x≤1函數ζ(x)有有定義的有限值。這種拓展的方法稱為解析延拓，由此得到的新函數稱為黎曼ζ函數（以18世紀的數學家黎曼之姓命名）。（讓新函數在x≤1時給出有限值用了一個巧妙的方法，即，將原發散和減去另一個發散和，兩個無窮大相減得到一個有限量。）

小貼士

如前所述，歐拉ζ函數S(x)定義域為x大於1的實數。實數是複數這個大數域的一部分，實數對應於一條無限長直線上的點，複數則對應於包含了實數軸的整個平面上的點。這個平面稱為複平面。我們可以定義自變數取實數的函數，同樣也可以定義自變數為複數的函數（稱為複變函數）。

複變函數一個奇特的性質是：如果你知道函數對某個自變數集合有意義，那麼（通過一些技術手段）你就可以知道函數在複平面其它點上的值。拓展函數定義域的方法稱為解析延拓。歐拉ζ函數定義在大於1的實數域上，因為實數也是複數，我們可以把它看成一個複變函數，然後用解析延拓的方法得到一個定義在整個複平面上、但在大於1的實數域上複合歐拉ζ函數的新函數。這個新函數就是黎曼ζ函數。

好了，現在我們的ζ(x)和歐拉ζ函數S(x)在x>1時是一樣的。而代入x≤1的值時，ζ函數能得到有限值。那麼，如果代入x=-1會得到哪個值呢？你也許已經猜到了：

如果在x=-1時你錯把ζ(x)等同於S(x)，你就得出了這個（錯誤的）式子：

這就是對拉馬努金謎之表達式的一種解釋。

小詭計

那麼，視頻里的人是怎麼「證明」所有自然數的和等於-1/12的呢？答案是，他們其實沒並沒有證明。看他們的視頻就像看魔術師怎麼把兔子塞進魔術帽里。他們「證明」的第一步是讓你相信下面這個無窮和

等於1/2。

視頻沒有在這做什麼解釋，好像這個結果理所當然。但我們來仔細看看事情是不是這樣。假設1-1+1-1+1-1……有一個有限值Z，將它自加一次得到

但這就是最開始的和式（這個結論是有問題的。如果拼接後的式子還是1-1+1-1……，那麼就能確定前一個序列以+1-1結束——譯者按），由此得

因此，如果Z=1/2，就會得出1/2=1的荒謬結論。所以認為無窮和1-1+1-1+1-……等於1/2的說法是錯誤的。其實，你可以用一個發散的無窮和湊出各種結果。這就是個鬼把戲罷了。

物理里出現的是什麼？

那麼，這個怪異的錯誤結果為什麼會出現在視頻里那樣的物理教材里呢？這才是這個問題有意思的地方。設想你有兩塊導電的金屬板，並把它們平行放置在真空中。根據經典物理學，這兩塊板之間應該不存在任何凈相互作用力。（不考慮萬有引力——譯者按。）

但經典物理處理不了在微小尺度下出現的奇特現象，此時你需要量子物理。量子物理會告訴我們各種奇怪的事情，其中一個是，真空並不是空的，而且還充滿活力：每時每刻都有所謂的虛粒子翻滾著出現和消失。這些活動帶來所謂的零點能：這是物質在絕對零度時具有的最低能量。

當你用量子物理的數學計算這兩塊金屬板之間的能量密度時，你會得到如下的無窮和：

這個式子就是將x=-3代入歐拉ζ函數時得到的式子：

悲哉！這個和是發散的（比S(-1)發散得還快），這說明能量密度無窮大，顯然沒意義。如果死皮賴臉地認為這個無窮和等於黎曼ζ函數（而不是歐拉ζ函數）在x=-3時的值會怎樣？這樣就可以得到一個有限的能量密度，說明兩塊金屬板之間有一個吸引力。這也是很奇怪的，因為按經典物理就不存在這個力。

但是大旗已經豎起來了！物理學家做了實驗，真的發現了這個力，並且它對應的能量密度正好等於ζ(-3)！

這個驚人的結果稱為卡西米爾效應，以荷蘭物理學家亨德里克·卡西米爾之姓命名。（圖示如下：Casimir plates為卡西米爾平板，Vacuum fluctuations為真空漲落。）

讓我們稍微花點時間來看看。量子物理認為能量密度為

這是沒意義的，但實驗證明，如果你（錯誤地）將這個和當成是ζ(x)在x=-3時的值，就可以得到正確的結果。看來自然也用了我們上面提到的方法，它將歐拉ζ函數延拓到x小於等於1的範圍，巧妙地減掉一個無窮大，然後得到一個有限值。屈服吧，凡人！

至於在視頻和課本里出現的是ζ(-1)和S(-1)而非ζ(-3)和S(-3)的原因，是因為一維卡西米爾效應的能量密度用ζ(-1)計算。（三維就是ζ(-3)了。）（課本嘛，重在基本理論而非實際，能簡則簡——譯者按。）

所以視頻里的傢伙為啥要發這麼個視頻？他們當然知道解析延拓可以讓函數在原定義域外獲得定義，但這些對他們的視頻來說技術性高了些。他們知道解析延拓的方法得到的最終結果是對的，就沒說這些難的，而耍了點小手段。這樣他們的視頻得到了一百萬的點擊量，也讓大傢伙開始談論ζ函數和數學。在這點上我祝賀他們。ζ函數非常奇妙，我們在上面說的只不過是一系列神奇的數學性質的開頭。（國內有一本和黎曼函數有關的比較專業的科普書：《黎曼猜想漫談》——譯者按。）在向大眾傳播數學和物理時，我們總要為怎麼解釋做一些取捨，而我們也要憑良心來權衡精確與易懂的界線究竟該劃在何處才是。