椭圆的定义及标准方程

同学们好，这节课来学习椭圆及其标准方程。

·首先来看一下这个图形，这是行星绕着太阳旋转，它的轨道是一个椭圆。画一个，看得出来所有的轨道全部都是椭圆，并且太阳就在椭圆的焦点上面，这是开普勒第一定律。

·再看一下平时常见的鸡蛋，它也是一个椭圆的形状。

·再做一个数学实验，取一条细绳，在木板上有两个定点fef2，细绳的两端定在这两个定点fef2上面，有一个笔尖把它拉紧，再慢慢的旋转，这样得到的形状也是一个椭圆。

·来看一看它的图形，现在问作图过程中哪些量没有变，哪些量变了？就会发现细绳的长度是没有变的，还有两定点之间的距离也是没有变的，就是这两个定点，一个是f1，一个是f2，这两个定点之间的距离总是固定的。

笔尖所对应的动点到两定点之间的距离变了吗？距离变了，但是距离之和是没有变的，这样就可以得到椭圆的定义了，就是绳长大于两点之间的距，mf1加上mf2，这个长肯定是一个定值，mf1就是笔尖的位置。

归纳一下，平面内与两定点f1和f2距离和等于常数，这个常数大于f1f2，它的点就叫点的轨迹，就叫做椭圆，这两个定点就叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离就叫做椭圆的焦距，这个常数就用2a表示，焦距用2c表示。

看一下这个定义，这个定义里面说平面内与两定点的距离之和，什么意思？就是到两个定点fef2，这就是它们的距离之和，这个距离之和要等于一个常数，这个常数是2a，就让它等于2a。

还说了常数要大于fef2，就是2a要比f1f2大，f1f2就是焦距，f1f2之间的距离就是焦距，还说了焦距用2c表示，所以2a要大于2c。

现在问一下定义当中的常数为什么要大于焦距？什么意思？就是2a为什么要大于2c？因为2a就是mf1加上mf2，就是等于2a，这个2a为什么要大于2c？如果等于2c或者小于2c行不行？

先看一下，如果mf1加上mf2如果是等于2c，也就是等于2c的时候看它的轨迹是一个什么形状，这是f1f2，然后mf1加mf2就等于f1f1f2之间的距离就是2c，m点它们两个相加等于2c。点当然就在线段f1f2上面，因为这两段加起来刚好就是等于2c的，所以这个时候等于2c的时候不是椭圆，是一个线段f1f2，这就是等于的时候得到的轨迹不是椭圆，是什么？是一个线段。

再看一个就是如果小于2c图形又是一个什么形状？就是memfe加上mf2这个长，如果是小于2c就画不出来了，无法做出这个图形，所以总结了之后就可以得到如果mf1加mf2大于2c大于两定点的距离就是一个椭圆，如果等于两定点的距离就是线段的f1f2了。

可以看一下这里，m点在线段上面，不管在线段的哪个位置，它们之间的距离之和都是等于这两个定点之间的距离2c的，不管在哪个位置，它们加起来都是2c，这个时候m点的轨迹就是一个线段f1f2了，如果小于f1f2之间的距离就没有轨迹了。

现在总结了之后就得到平面内到两定点的距离和等于常数这样的点，这个点就可以把它想象成图形就是椭圆了。现在看一下椭圆的标准方程应该是什么样的，怎么样建立好一些？可以这样建，就是以f1f2为x轴，以f1f2的垂直平分线为y轴建一个系，这样这个是x轴，这个是y轴。

因为f1f2之间的距离等于焦距等于2c，刚好它们这又在圆点的左右两端分布，所以可以把这个点叫做负c零，f2点就叫做c零。现在在由图文的定义mf1加上mf2，这里是p，就设一个p点，pf1加pf2又是等于2a的，所以这个时候就可以列一个式子了，就是mf1，pf1用两点之间的距离公式，这个用两点就之间距离公式就是横减去横的平方加上重减重的平方再开方，这就是pf1，也就是左边这个，这个当然就是pf2了。

pf1加pf2就等于2a，就得到这个式子了，再把这个式子化减就行了，化减的时候可以同时平方，但是平方的时候不要直接平方，可以把两个随便带喇叭拉个根号，移到右边去，之后像这样再开，再把两边同时平方经过一系列的化减，最后就可以算出这样的一个式子了。

a的平方分成一个平方加上a的平方减去y的平方减去c的平方分成y的平方等于一了，这本来就已经画到最。后一步没法再画下去了，但是还是嫌不够简洁，就这个样子，还得继续画一下。

可以让p f1、p f2相等等于二a，然后这个o f1 of l f2等于二c，这个长是二a，这个长是a，这个长也是a，p点刚好在椭圆的上顶点上面，po的长当然就是等于a的平方减c的平方了，就是用勾股定理得到的。

这是在哪个三角形的p o f2当中可以用勾股定理得到，p o就等于根号下a的平方减去c的平方。

再用一个代替一下，就是让p o的长等于b，令它等于b，这样就可以得到a的平方减去c的平方，开方就等于b，再把它们两边同时平方是不是就可以得到a的平方减去c的平方等于b的平方，再把它画一个减就可以得到a的平方等于b的平方加上c的平方。

这个分母可不就是a的平方减去b的平方不就是b的，a的平方减去c的平方就是b的平方，所以椭圆的方程就变成了a的平方分成一个平方加上b的平方分之y的平方等于一了，下面这个就是abc之间的关系式，这就是椭圆的焦点在x轴上，椭圆的标准方程就是这个样子了。

现在再来看一下它的标准方程，这里就是a的平方分之x平方加上b的平方分之y的平方等于一，然后把最长的轴就叫做长轴，长度是二a，为什么叫长轴？就是连接椭圆上任何两个点之间的线段就是轴，最长的肯定就是这里的一个轴，来画一下，就是从这里到这里，这个点叫a1，这个点叫a2，a1、a2就是它的长轴最长的轴码，它的长度就是二a一，最短的轴就是短轴长度是二b一，把下面叫做b1，上面这个点叫做b2，b1和b2的距离当然就是二倍的b了，这个叫短轴。

现在再来看一下焦点如果在y轴上，那么它的标准方程又是什么样的？是不是又要像让焦点f1、f2放在y轴上面又重新建一个系，经过一番化解就可以得到它的标准方程应该是这个样子，a的平方分成y的平方加上b的平方分之x平方等于a大于b大于零，这是交点在y轴上的标准方程。

现在来比较一下，根据椭圆焦点或者长轴的位置不同就得到了两种标准方程，一个是焦点在x轴上的标准方程，一个是焦点在x轴上的标准方程。一个是焦点在y轴上的标准方程，大家可以看出这两个方程是不一样的。

怎么看焦点在哪个轴上面？一个是在x轴，一个是y轴。有一个判断方法就是怎么判断，这里有x、y下面的值分母，就看它的分母，分母哪个的分母大就在哪个轴上。为什么？因为看一下交流在一个值轴上，a是大于b的，都知道a肯定是大于b，交流在一个值轴上的a肯定大一些，交流在y轴上的y的下面的分母就是a，所以这个时候y的平方的分母就大一些。

怎么看焦点在哪个轴上面？可以这样看，就是看哪个的分母大，分母大的就在这个轴上面。再来总结一下椭圆的标准方程，这是交点在x轴上的标准方程，这是交点在y轴上的标准方程，然后它的焦点坐标左边那个是负c零和c零，这就是f1和f2之间的坐标，右边这个是f1是零负c，f2是零c，这就是它们的焦点坐标。

abc的关系都是一样的，都是c的平方等于a的平方减去b的平方。判断焦点在哪个轴上的方法，刚刚说了哪个分母大就在哪个轴。看一下这个题目，看一下焦点在一个轴和教你的外外轴，这下面有四个，来一个个的判断。

·先看第一个，二十五分之x平方加上m分之y的平方等于m是小于二十五，m小于二十五就说二十五大一些，二十五大就是这个，看到二十五大，二十五的分子是x平方，当然焦点就是在x轴上，就这样连一下。

·第二个，二和四肯定是二小于四，四大一些，四比较大一些，四的分子是y，所以焦点就应该在y轴上。

·第三个，m分之x平方加上四分之y的平方等于一，就可以看出来m和四哪个大题目说了m是小于四的就是四大一些，四的分子是y，焦点也是在y轴。

·再看最后一个，七分之x平方加上四分之y的平方等于一，看到七也大一些，七的分子是x平方，所以它的焦点就应该是在x轴上面。

这就是判断焦点在哪个轴上的方法，都做对了吗？现在来看一个题目就是二元方程的求法。

·第一，求到点f12距离之和等于四，这样的点m的轨迹方程。怎么做到两定点的距离之和等于四？就知道二a就等于四，因为刚刚说了到两定点的距离之和就是二a，就可以得到a就等于二。

·然后焦点坐标刚刚建立平面之后这个系数也这样设了，就是一个是负c，零一个是c零，对应一下负c零，c零和负一零一零，这样一对比就会发现c等于一了。

怎么求b？就要用刚才这个关系式了，椭圆当中a最大，a的平方就等于b的平方加c的平方，所以就得到二的平方就等于b的平方加上一的平方，这样就可以得到b的平方就等于四减一等于三。所以它的标准方程就是往x轴的方程里面去求，在x轴方程里面去求，就可以求出它的标准方程了。

因为a等于二，二的平方是四，所以就是四分之一个平方加上b的平方是三，就是三分之y的平方等于一。这就是第一题的答案，大家可以看一下。

再看第二题，求到两个点f一零负一和零一距离之和为四的点的轨迹。看第一题和第二小题是不是非常的像，只不过交点的坐标发生的变化。第二题应该怎么做？还是像刚才那样，二a肯定等于四，也就得到a等于二，这个是肯定是不变的。

c还是等于一，因为这个时候坐标是零，负c和零c交点在y轴上，所以c等于一。这样b的平方怎么求？因为不管交点在x轴还是y轴，都有满足一样的式子，这样可以求出b的平方还是四减一等于三，所以a的平方还是四，b的平方还是三。

只不过它跟第一题不同，就是它的方程不是刚才那个方程，它的标准方程应该是a的平方分之y的平方加上b的平方分之x平方等于一，所以就可以得到它方程应该是四分之一y的平方加上三分之一x平方等于一，这就是第二题的答案。

来看一看，总结一下，不管在x轴还是焦点在y轴上，它们有一个相同的部分，大家可以记一下，就是a的平方等于b的平方加上c的平方，这个是一致的，不管哪个轴上都是满足这个格关斜视，其他的可能不一样，但是这个是不一，肯定是不变的。

现在再看一个题目，已知椭圆两个交点分别是负二零二零并且经过这个点二分之五负二分之三，求它的标准方程这个题比刚才这个题稍微麻烦一点，但是意思是差不多的做法。刚才那个题目不是一下子可以求出二a等于四吗？不过这个题目二a还要算一下，二a就是这两个点之间的距离之和。

来算一下二a等于几，就是横减去横的平方加上纵减去纵的平方，这是m，m f一加上m f二就是二分之五减去二的平方加上负二分之三减零的平方，把它算一下就可以算出二a等于几了。

在下面算了一下，算出二a等于二倍的根号十。就是把根号下面这个复杂的式子求出来，这样当然可以求出a就等于根号十了。

a等于根号十，这个不是负c零和c零吗？对比一下负c零，c零就可以看出c就等于二了，求出b，b等于a的平方减去c的平方就是十减二的平方就是四等于六，这样就可以求出它的标准方程了。

再看一下它焦点，这是x轴上焦点的坐标的形式，因为x轴上焦点就是纵坐标等于零，所以f10和f520可以得出它的标准方程应该是这个样子，再把a和b往里面带就行了，得到a就是根号十的平方十，再加上b，b就是六，b的平方等于六，这就是它的标准方程，十分这个平方加上六分之y的平方等于一。

大家可以看一下它的做题过程，最后答案是十分这一个平方加上六分之y的平方等于一，也是按椭圆的定义来做的，就是用的定义法。还可以用带一定吸收法，就是首先把它的标准方程设成这个样子，像这样子之后再经过这个点还有椭圆的焦点也知道，就可以把这个点的坐标往这个方里面去带到这个方程里面去，再由c等于二，这个是看出来的，c等于二不是求出来的是看出来的，看出来c等于二，因为焦点是负c零和c零，c零不就等于二吗？

所以由这两个设计第一个方程组就可以求出a等于十，a的平方是十，b的平方是六，然后就可以求出它的标，同样的标准方程是这样了，跟刚才这个方法就稍微有点不一样，它用的是待定吸收法，刚才用的是定义法。

大家可以把这个题想一想，思考一下，a、b、c是两个定点，b、c的长是十，然后平面内a、b、c的周长是十八，求它顶点的轨迹，可以间隙，然后bc的长是八，可以把左边叫b，右边叫c，然后也bc的中垂线为y轴，bc的长为x轴，建一个细，一个是四零一个是负四零，就是这样去建细。

然后a点在哪？a点是运动的，就是要求一点的轨迹，它说了周长是十八，什么叫周长？三角形的周长就是三边长度相加就叫做周长，就这三个加起来等于十八，因为bc的长题目告诉你是八，就这一项是等于八的，就可以得到a、b的长加上ac的长是一个定值十，那就是十，也就是说a点无论在哪里，那么a、b加ac都等于十，是不是就符合椭圆的定义？

到两定点的距离之和等于定值，这个定值就是二a，所以一下就可以求出a等于5，然后c就是这两个坐标，负c零和c零，一眼看出c就等于4了，这样就可以求出b的平方等于5，a的平方减去c的平方25减去16等于9，这就可以得到它的轨迹方程就是下面这个式子了。

但是y不能等于零，y为什么不能等于零？那就是如果y等于零，那你就说a点的坐标，如果它的重坐标等于零，那a点岂不是就在这个x轴上，这个时候a、b、c就贡献了，它就无法组成一个三角形了，所以a、y就不能等于零，也就是a、b、c不能贡献。

这是这个题目的做法，大家可以看一下它的解答过程，做出来就是下面这个答案25分之a平方加上9分之y的平方等于1。

回顾一下这节课学的内容，就是图案的定义就是平面内到两定点距离之和等于定长的动点，轨迹是一个圆，还说了这个距离之和要比这两个定长之间，这两个定点之间的距离要大一些，这样才是椭圆。

然后说这两个定点就是椭圆的两个焦点，两焦点之间的距离是焦距定长就等于长轴的长轴长就是2a，然后短轴长把它定为2b，就这个长就是二倍的b，从上到下了整个长是二倍的b。

还有关系式就是a的平方等于b的平方加上c的平方，也就是椭圆当中a是最大的，在椭圆当中a是最大的b和c，没有办法比较大小，然后椭圆的两个方程一个是x轴上的方程一个是y轴上的标准方程，大家可以都记下来。

下面可以把这个题大家做一下，做完了吗？答案选d。