一转定乾坤，实在太奇妙了。抽丝剥茧，详细解析初中数学题106

如图, P 是正方形 ABCD 内的一点，若 PA = 1,PB=2,PC=3,求∠APB 的度数。

解析:因为四边形ABCD是正方形，

所以两边相等且垂直。

我们可将△ABP 绕点B 顺时针旋转 90°,得△CBE,连接 PE。

由旋转的性质可得：

∠CEB =∠APB,

EB=PB,

EC=PA,

∠PBE=90°(因为是旋转90°)，

所以△BEP 为等腰直角三角形,

所以∠BEP=45°。

在Rt△PBE中，

因为PB=2,

所以PE=√PB²+EB²=2√2。

在△PEC中，

因为PC=3,

PE=2√2，

EC=PA=1,

所以PC²=PE²+EC²

所以∠PEC=90°,

所以∠APB=∠CEB

=∠BEP+∠PEC

=45°+90°

=135°。

小结：对于正方形内一点可通过旋转90°，使得三条线段集中到同一个四边形中(如本题四边形PBEC)，而作出四边形的对角线(如本题中PE)后可以发现其中一个三角形(如本题中△PBE)是等腰直角三角形，从而可以得出PE=√2BP。这样√2BP、PC、PA被集中到同一个△PEC中，的确非常奇妙。

这正所谓：一转定乾坤，将三个不在同一三角形的线段统一到同一个三角形中去了。