三法解加拿大数学竞赛题

解法①:原方程变为:

2-x²√2-x³-x²=0

令a=√2，则a²=2

∴a²-x²a-x³-x²=0

△=x⁴+4x³+4x²=（x²+2x）²

a=x²+x或a=-x

当a=x²+x时，x²+x-√2=0，x=[-1+√（1+4√2）]/2或x=[-1-√（1+4√2）]/2

当a=-x时，√2=-x，x=-√2

∴原方程的解为:∴x1=-√2，x2=[-1+√（1+4√2）]/2，x3=[-1-√（1+4√2）]/2

解法②:配方法

原方程变为:（x³+2√2）+（1+√2）x²-2-2√2=0

∴（x+√2）（x²-√2x+2）+（1+√2）x²-2（1+√2）=0

∴（x+√2）（x²-√2x+2）+（1+√2）（x+√2）（x-√2）=0

∴（x+√2）（x²-√2x+2+x-√2+√2x-2）=0

∴（x+√2）（x²+x-√2）=0

∴原方程的解为:x1=-√2，x2=[-1+√（1+4√2）]/2，x3=[-1-√（1+4√2）]/2

解法③:试根法，x=-√2是原方程的根

∴原方程可变为:（x+√2）（x²+x-√2）=0

∴x1=-√2，x2=[-1+√（1+4√2）]/2，x3=[-1-√（1+4√2）]/2

∴原方程的解为:∴x1=-√2，x2=[-1+√（1+4√2）]/2，x3=[-1-√（1+4√2）]/2