20世紀六七十年代, Benjamin和Ono分別在[107]和[113]中提出了一類具有奇性的Hilbert變換的發展方程
其中α, β為常數, H為Hilbert變換, 我們稱之為Benjamin-Ono方程, 簡稱BO方程. BO方程用來描述深水中的水波運動, 也描述光學介質中的三層光學共振. BO方程與描述淺水波的Korteweg-deVries(KdV)方程以及有限深度的水波方程一起成為重要的色散型水波方程, 這三者之間還有緊密的聯繫. 當描述流體深度的參數δ→∞時, 有限深度水波方程逼近於BO方程;當描述流體深度的參數δ→0時, 有限深度水波方程逼近於KdV方程. 可以證明BO方程是可積系統, 具有孤立子, 不同於KdV方程的鐘形孤立子, BO方程具有有限分式的代數孤立子.
1986年, 周毓麟和郭柏靈首次證明了BO方程整體光滑解的存在唯一性.之後國內外許多著名的學者都對BO方程做了大量的研究, 如T. Tao, C. E. Kenig等, 得到了L2空間上的大初值整體解等一系列結果. 在研究BO方程的過程中, 學者們提出了許多新的研究方法, 如分頻分模的Bourgain空間方法等, 應用了一系列複雜的混合型工作空間, 將調和分析等工具加以充分利用.
本書的目的在於以簡潔明了、通俗易懂的形式比較全面地介紹BO方程、有限深度水波方程等一些重要的數學理論、研究方法和研究成果, 以及作者的一些研究結果, 其中包括能量空間和Bourgain空間上的整體解的存在性、唯一性、低正則性、漸近性以及孤立波解的軌道穩定性和漸近穩定性等. 我們希望本書的出版有助於數學和物理研究工作者, 特別是有些年輕的研究人員, 能從中對BO方程有一個概括性的了解. 如果對這些有興趣, 可以查閱本書所列有關文獻, 更快、更深入地開展BO方程新的研究工作.
[107] Benjamin T B. Internal waves of permanent form in fluids of great depth. J. Fluid Mech., 1967, 29: 559-592.
[113] Ono H. Algebraic solitary waves in stratieduids fluids. J. Phys. Soc. Japan, 1975, 39: 1082-1091.
深水中的 Benjamin-Ono 方程及其怪波解
郭柏靈 等 著
北京：科學出版社
ISBN 978-7-03-071508-1
責任編輯: 李 欣， 李 萍
深水中的Benjamin-Ono(BO)方程是一類非常重要的非線性色散方程，具有廣泛的物理背景和應用背景。該類方程存在一類具有有限分式的代數孤立子，並且屬於可積系統。本書給出該類方程的物理背景並闡述其怪波解，着重研究幾種重要類型的BO方程的數學理論，其中包括在能量空間和Bourgain空間上的整體解的存在性、唯一性和低正則性等。同時本書研究了中等深度水波方程的廣義解、解的漸近性和極限性質、廣義KP方程和二維BO方程解的爆破性質，以及利用穩定性理論和譜分析的方法介紹了BO方程孤立波解的軌道穩定性和漸近穩定性。
目錄速覽
前言
第1章 Benjamin-Ono方程的物理背景及其怪波解 1
1.1 引言 1
1.2 Benjamin-Ono方程及其孤立波解的推導 1
1.3 底層方程(0≤y＜h0) 3
1.4 上層方程(y≥h0)和y=h0的匹配 6
1.5 關於方程(1.4.51)的守恆律 8
1.6 方程(1.4.51)的定常行波 9
1.7 有限深度流體的孤立波 11
第2章 Benjamin-Ono方程初值問題的光滑解 13
2.1 含擴散項的廣義Benjamin-Ono方程 13
2.2 先驗估計 16
2.3 廣義解 21
第3章 Benjamin-Ono方程的整體低正則解 23
3.1 引言 23
3.2 Benjamin-Ono方程的適定性研究現狀 23
3.3 Benjamin-Ono方程在L2空間上的大初值整體解 25
3.4 Gauge變換 27
3.5 工作空間的構造 30
3.6 空間Zk的性質 33
3.7 線性估計 39
3.8 局部的L2估計 44
3.9 雙線性估計Low×High→High 50
3.10 雙線性估計High×High→Low 61
3.11 光滑有界函數的乘子估計 67
3.12 定理3.3.1的證明 76
第4章 KdV-BO-Hirota方程的Hs解 90
4.1 簡介 90
4.2 預備知識 92
4.3 局部結果 94
4.4 Hirota方程在Hs(1≤s≤2)上的整體解 96
第5章 BO長短波方程的Hs解 97
5.1 引言 97
5.2 某些估計的引理 98
5.3 非線性估計 101
第6章 中等深度水波方程的廣義解 111
6.1 引言 111
6.2 奇性積分算子G(u)的某些性質 112
6.3 方程(6.1.6)對α>0的可解性 116
6.4 方程(6.3.13)局部解的存在性,α=0 118
6.5 方程(6.3.13)的整體可解性 120
第7章 中等深度水波方程解的漸近性 126
7.1 引言 126
7.2 一些引理 127
7.3 線性估計 131
7.4 非線性問題的衰減估計 137
第8章 中等深度水波方程的極限性質 141
8.1 引言 141
8.2 廣義有限深度水波方程的整體適定性 141
8.3 線性估計 146
8.4 小初值整體適定性 161
8.4.1 工作空間E的構造 161
8.4.2 定理8.2.6的證明 164
8.4.3 定理8.2.5的證明 171
8.5 解的極限行為 176
8.5.1 解的正則性 176
8.5.2 當δ→0時解對KdV方程的逼近 178
8.5.3 當δ→∞時解對Benjamin-Ono方程的逼近 183
第9章 廣義KP方程和二維Benjamin-Ono方程解的爆破 188
9.1 引言 188
9.2 局部結論 189
9.3 爆破結論 194
第10章 廣義隨機Benjamin-Ono方程的初值問題 200
10.1 引言 200
10.2 預備知識 203
10.3 雙線性估計 206
10.4 三線性估計 210
10.5 局部適定性 213
10.6 定理10.1.2的證明 214
第11章 KdV-BO方程的低正則性問題 225
11.1 引言 225
11.2 預備知識 227
11.3 l=2時的局部解 231
11.4 定理11.1.4的證明 237
第12章 Benjamin-Ono方程孤立波解的軌道穩定性 239
12.1 孤立波解的存在性 239
12.2 主要結果 241
第13章 Benjamin-Ono方程孤立波解的漸近穩定性 245
13.1 引言 245
13.2 一些單調性結果 247
13.2.1 準備工作 247
13.2.2 調製引理 248
13.2.3 u(t)的單調性 249
13.2.4 η(t)的單調性 258
13.3 線性Liouville定理 262
13.3.1 假設二次型正定下證明定理13.3.1 263
13.3.2 對偶問題的正定二次型 276
13.4 漸近穩定性 280
13.4.1 定理13.1.1的證明 280
13.4.2 定理13.1.2的證明 284
13.4.3 註記13.1.3的證明 292
13.5 多個孤立子的情況 294
13.5.1 穩定性理論的概括 295
13.5.2 定理13.5.1的證明概括 296
13.6 弱收斂和適定性結果 299
13.6.1 弱收斂 299
13.6.2 非線性BO方程的適定性結果 300
參考文獻 310
（本文編輯： 王芳）
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