眾所周知, 1834年英國力學家Russell第一次觀察到孤立子現象. 1898年由Korteweg和deVries在研究淺水中小振幅長波運動時提出並命名為Korteweg-deVries(KdV)方程, 同時也得到了孤立波解. 1965年, Kruskal等在數值計算中得到孤立子的現象並予以命名. 此後, 孤立子在許多介質中出現, 並且孤立子性質及其數學理論有了系統的研究並得到蓬勃發展. KdV方程現已成為孤立子理論的重要模型, 人們從物理和數學上對KdV方程、高階KdV方程以及相關的耦合方程組開展了一大批蓬蓬勃勃的研究工作, 取得了很多有意義且具有重大影響的結果. 在數學方面, 國際上有許多著名數學家, 如C. Kenig, J. L. Bona, J. Bourgain, G. Ponce, P. D. Lax, Y. Martel, F. Merle, P. Deift以及最近發表在雜誌Ann. ofMath. 上的「KdViswell-posedinH−1」的作者R. Killip和M. Visan等都對KdV類方程解的存在性、唯一性、低正則性、漸近行為以及穩定性等做出了一系列重要貢獻.
《高階KdV方程組及其怪波解》主要介紹有關高階KdV方程及其耦合方程組的數學理論、研究方法和最新的研究成果, 其中包括在能量空間上初值或初邊值問題整體解的存在性、唯一性、低正則性、長時間漸近行為以及穩定性等. 應當指出：這些成果也包含了作者及其合作者得到的一些創新的研究成果. 特別地, 1984年至1986年周毓麟和郭柏靈對一維和高維高階KdV方程的光滑解和整體解等進行了系統而深入的研究, 並得到一些首創結果, 他們得到的高維高階數學模型現已被它的物理現象所證實. 我們希望本書的出版有助於數學和物理研究工作者, 特別是有些年輕的研究人員, 可以直接地、較快地開展這方面的研究工作.
高階KdV方程組及其怪波解
郭柏靈等 著
北京：科學出版社
ISBN 978-7-03-071509-8
責任編輯: 李欣，賈曉瑞
KdV方程及其高階方程是一類非常重要的淺水波方程, 這類方程具有廣泛的物理與應用背景. 本書介紹了這類方程的物理背景, 並給出相應的孤立子解、怪波解. 本書着重研究幾種重要類型的高階KdV 方程組在能量空間中的一些經典結果, 其中包括適定性、長時間漸近性和穩定性結果. 利用調和分析的現代理論和方法, 本書詳細介紹了這類方程初值及初邊值問題的低正則性結果. 基於可積系統的Riemann-Hilbert方法, 本書同時研究了可積的Hirota方程及五階mKdV方程解的長時間漸近行為, 給出了方程解漸近主項的精確數學表達式.
目錄速覽
前言
第1章KdV,mKdV及其高階方程的物理背景和怪波解1
1.1KdV方程的物理背景及孤立子1
1.2mKdV方程的物理背景及怪波解1
1.2.1一階周期解和有理分式解3
1.2.2二階周期解4
1.2.3退化解5
1.2.4二階有理分式解6
1.3五階KdV方程的物理背景及孤立子7
1.4五階mKdV方程的守恆律、周期解和有理解10
第2章KdV方程在H-1(R)中的適定性16
2.1引言16
2.1.1局部光滑性16
2.1.2概念和預備知識17
2.2對角格林函數18
2.3動力學28
2.4等度連續性32
2.5適定性35
2.6周期情形38
2.7局部光滑性45
第3章高階廣義KdV型方程組的周期邊界問題與初值問題53
3.1引言53
3.2方程組(3.1.6)的周期邊界問題(3.1.2)54
3.3方程組(3.1.1)的周期邊界問題(3.1.2)63
3.4方程組(3.1.1)的初值問題(3.1.3)76
3.5p=1的情況80
第4章一類具導數uxp的廣義KdV方程組的弱解84
4.1引言84
4.2問題(4.1.3),(4.1.5)近似解的存在性85
4.3一致先驗估計89
4.4初值問題的廣義解91
4.5t→1的漸近解92
4.5.1「blowup」問題92
第5章一類五階KdV方程的光滑解94
5.1引言94
5.2周期邊值問題(5.1.1),(5.1.2)95
5.3初值問題(5.1.1),(5.1.3)103
第6章高階多變量KdV型方程組整體弱解的存在性106
6.1引言106
6.2線性拋物型方程的周期初值問題107
6.3非線性拋物組(6.1.2)的周期邊界問題(6.1.3)108
6.4周期邊界問題(6.1.1),(6.1.3)的整體弱解115
6.5初值問題(6.1.2),(6.1.4)的整體弱解117
6.6初值問題(6.1.1),(6.1.4)的整體弱解118
6.7無限時間區間上的廣義解119
6.8廣義解當t→1時的漸近性120
6.9廣義解的「blow-up」性質120
第7章KdV-BBM方程的整體解122
7.1引言122
7.2主要結果及證明124
第8章KdV-BO方程的整體解129
8.1引言129
8.2預備知識131
8.3局部適定性: l=2135
8.4定理8.1.3的證明140
第9章一類KdV-NLS方程組整體解的存在性和唯一性143
9.1引言143
9.2積分先驗估計144
9.3方程(9.1.4),(9.1.5)Cauchy問題和周期初值問題局部解的存在性154
9.4方程(9.1.1),(9.1.2)Cauchy問題和周期初值問題整體解的存在性、唯一性162
第10章Hirota型方程的整體光滑解167
10.1引言167
10.2主要結果167
10.3主要結果的證明168
10.3.1定理10.2.1的證明168
10.3.2定理10.2.2的證明173
10.3.3定理10.2.3的證明173
第11章Hirota方程初邊值問題解的長時間漸近性176
11.1引言176
11.2RH問題177
11.3一類可解的RH問題182
11.4RH問題的形變183
11.5穩態點k1和k2鄰域內的RH問題190
11.6長時間漸近公式196
第12章一維KdV方程的初邊值問題202
12.1引言202
12.2邊界算子工作的回顧206
12.2.1線性形式208
12.2.2非線性形式211
12.3Duhamel邊界力算子類213
12.4一些函數空間的性質218
12.5某些估計218
12.5.1Riemann-Liouville分數階積分估計218
12.5.2群的估計221
12.5.3Duhamel非齊次解算子221
12.5.4Duhamel邊界力子類的估計222
12.5.5雙線性估計226
12.6左半直線問題234
12.7右半直線問題238
12.8直線段問題239
第13章KdV-NLS方程的初邊值問題243
13.1引言243
13.1.1半直線上的模型244
13.1.2初邊值的函數空間245
13.1.3主要結果246
13.1.4證明技巧248
13.2Riemann-Liouville分數階積分算子的相關估計249
13.2.1函數空間249
13.2.2Riemann-Liouville分數階積分251
13.2.3一維積分基本估計252
13.3R+和R-上的線性問題252
13.3.1Schrodinger方程自由傳播子的線性估計254
13.3.2線性Schrodinger方程的邊界力算子254
13.3.3線性Schrodinger方程的Duhamel邊界力算子類255
13.3.4KdV方程的線性群257
13.3.5線性KdV方程的邊界力算子257
13.3.6線性KdV方程的Duhamel邊界力算子類259
13.4Duhamel非齊次解算子262
13.5非線性估計263
13.5.1已知的非線性估計263
13.5.2耦合項的雙非線性估計263
13.5.3命題13.5.1的證明264
13.5.4命題13.5.2的證明268
13.5.5命題13.5.3的證明268
13.5.6命題13.5.4的證明273
13.6主要結果的證明274
13.6.1定理13.1.1的證明274
13.6.2定理13.1.2的證明278
13.6.3定理13.1.3的證明279
13.6.4定理13.1.4的證明282
第14章五階KdV方程的初邊值問題285
14.1引言285
14.2線性估計和光滑性質287
14.3局部適定性298
14.3.1非線性估計298
14.3.2定理14.1.1的證明304
14.4全局適定性308
第15章五階mKdV方程解的長時間漸近性309
15.1引言309
15.2預備知識312
15.2.1RH問題312
15.2.2PainlevéII RH問題315
15.2.3一類與PainlevéII方程解相關的RH問題316
15.3區域(ii)中解的長時間漸近分析319
15.4第一過渡區域(a)中解的漸近性345
15.5第二過渡區域(b)中解的漸近性353
第16章KdV方程組的軌道穩定性367
16.1引言367
16.2孤立波的存在性367
16.3主要結果368
16.4定理16.3.1的證明371
16.5定理16.3.2的證明375
第17章次臨界廣義KdV方程孤立子的漸近穩定性379
17.1引言379
17.2預備知識384
17.3當s→+1時, ε(s)和λ(s)的漸近行為385
17.3.1ε(s)的漸近行為385
17.3.2λ(s)的收斂性394
17.4從非線性Liouville性質到線性Liouville性質的過渡395
17.5線性Liouville性質400
參考文獻410
索引417
（本文編輯： 王芳）
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