LOL上不了分？或許是數學沒學好

2022年06月29日19:25:36 熱門 1762

面對疾風吧

哈沙給

看文章前，小天要問一下粉絲中有RNG粉絲嘛，小天現在回收心碎RNG男粉，年齡要求18-20，身高175+，身材長相好的來，RNG讓你傷心，我不會。

好了，言歸正傳，最近"RNG輸了"的話題登頂微博熱搜，相信對於很多RNG粉絲來說，這無疑不是一個很難接受的實事。

大家都在問：怎麼就輸了！為什麼就輸了！怎麼可能輸了！

畢竟之前還有過一個這樣的段子：「我不知道RNG是誰，但是我知道他每隔一段時間就會牛逼一次。」

因為RNG的過於輕敵，被G2給淘汰了。畢竟當初RNG選手看到抽到G2的時候，一個個都笑的不行。現在輸了後看看這一幕，真的太諷刺了。毫不誇張的說，RNG今天是輸給了最不該輸的隊伍。

比賽結束後，許多粉絲也都統統跑到官微下留言，其中也不乏一些比較激烈的語言。

在小天看來，這應該也是「愛之深，責之切」的表現吧，作為粉絲肯定也是希望比賽能贏。但勝敗乃兵家常事，這次沒有發揮好，不代表下次。

作為菜鳥的小天，雖然不會準時收看競技比賽，但是只要看到相關的視頻也還是會熱血沸騰，畢竟LOL也曾是我的青春啊。

還記得那年大二，那是一個燥熱的夏天。下午沒課，於是班裡幾個女同學商量着下午打個擼，可惜連打三把，把把跪。於是我們五個開始討論原因出在哪。

A：氣死了，被對面打爆了。我：還不就是塔被推的太快，說了要你們團你們總是不來。C：我那時候要打野，要發育，哪有時間。D：下波團吧。我：說了幾次團你們都沒來。A：要守其他路啊。D：要不這把開始，我們五個走一起。我：可以，ADC拆塔快，我們五個都ADC吧，這樣我們走中路，拆中路，中路一般一個人，我們五打一還不是必勝。合：哎呀，好主意。

結果可想而知，五個人走一路，個個都沒發育機會，都不用等到20投，我們就都GG了，不服輸的我們繼續試驗了五個法師，五個上單，五個中單，五個打野，五個輔助後，於是那天下午跪的都站不起來了。

可是我們還是不服氣，一致覺得自己的戰術沒問題，這明明就是新的戰術發現啊！

於是小天我跑去問了我的資深LOL玩家表哥—數學建模老司機。

表哥聽之後，冷笑一聲，說你還真問對人了。但按你樣打擼，在英雄聯盟中為什麼還要分上單，中單，打野，ADC和輔助這些角色？

首先覺得這是一個數學問題，完全可以使用模型來解決。數學建模算法與應用第2版

有兩種研究思路，一種是基於數據模型，通過大量的對戰數據分析，證明不同陣容的勝率是否存在差異。

另一種是基於一定的假設，建立機理分析模型，將對戰雙方體系看成一個微分動力學系統，並進行模型求解。前者比較簡單，得到的結論也真實直觀；後者相對複雜，但是可以更深入問題實質。

英雄聯盟作為一個團隊遊戲，顯然，該問題的實質是探討不同協同作戰組合的效率，並基於模型求解的結果選擇最優組合。這可以建立一個運籌優化模型。不過由於此問題太過複雜，進行適當的簡化也是非常必要的。

基於蘭徹斯特方程的多人在線競技遊戲研究

摘要：針對當前多人在線競技遊戲普遍缺乏定量描述的數學模型這一問題，首先使用經典蘭徹斯特方程對遊戲雙方的獲勝概率進行初步探討。基於多元蘭徹斯特方程，並考慮遊戲玩家之間的協同配合因素，建立描述多人在線競技遊戲對戰過程的微分方程模型。通過使用Vensim軟件對多人在線競技遊戲「英雄聯盟」進行系統動力學模擬，可以形象地展現遊戲進程並進行結果預測。

關鍵詞：蘭徹斯特方程；多人在線競技遊戲；協同配合；系統動力學

在諸多網絡遊戲中，多人在線競技遊戲佔據了網遊市場相當大的比重，其中，拳頭公司開發的網絡遊戲「英雄聯盟」平均每天的玩家數量超過2700萬，是目前玩家最多的網絡遊戲[3]。建立數學模型對該類遊戲的攻防策略與勝負關係進行探討，不僅能使玩家增進對遊戲的理解，也可推動遊戲的不斷研發升級。由於多人在線競技遊戲（特別是其中的推塔類遊戲）以擊殺敵方角色並摧毀敵方建築（如防禦塔）為目的，因此，基於傳統戰爭分析中常用的蘭徹斯特方程，結合不同遊戲本身的特性建立數學模型，無疑是解決此類問題的最佳方法之一。

1.經典蘭徹斯特方程簡介

蘭徹斯特方程最早是由英國工程師F.W.Lanchester 在第一次世界大戰期間提出的，用於研究戰爭模型確定性解的問題。該模型的假設非常簡單，只考慮作戰雙方兵力數量和戰鬥力的強弱。由於蘭徹斯特方程沒有考慮作戰雙方政治、經濟等因素，因此只對單一的局部戰役的討論有意義。使用蘭徹斯特方程，成功地分析和預測了歷史上一些著名的戰役和戰爭，其中包括越南戰爭和美日硫磺島之戰[4]。經典蘭徹斯特方程對近代戰爭中兩種情況分別進行研究，第一種模型稱為平方率模型，該模型假設戰鬥雙方完全暴露在對方視野下，且可以及時將火力從已經擊毀的目標轉移到未擊毀的目標上，該模型一般適用於分析正規戰，平方率方程為[5]。

通過分析可得，雙方平局條件b(x²-x₀²)=a(y²-y₀²)，其中，x，y 分別表示作戰雙方甲、乙的兵力數量，a 表示乙方每個作戰單位對甲方作戰單位的殺傷率，稱為乙方單位的作戰效能（或戰鬥有效係數、損耗率係數、毀傷係數等），同理，b為甲方單位的作戰效能。

蘭徹斯特方程研究的第二個模型為線性率模型，該模型假定作戰雙方不能及時獲取敵方目標的信息，因此攻擊具有一定的隨機性。己方兵力的損失不僅與對方兵力有關，也與單位面積上的己方兵力數量有關。顯然，該模型更適用於游擊戰。線性率方程為：

通過分析可得，雙方平局條件為，x，y 的定義同上，表示乙方單位的作戰效能，表示甲方單位的作戰效能。

2.基於蘭徹斯特方程的多人在線競技遊戲對戰模型

2.1 多人在線競技遊戲對戰模型的簡單探討

上文對經典蘭徹斯特方程進行了簡要介紹，該模型是針對近代戰爭中兩種不同的作戰形式分別建立的。多人在線競技遊戲與蘭徹斯特方程所描述的戰爭場景有諸多相似之處，為了更具體地進行探討，不妨以當前最為流行的推塔類網絡遊戲「英雄聯盟」為例，探討兩者之間的相似性。

「英雄聯盟」遊戲的對戰雙方分別為藍方和紫方，每方擁有11個防禦塔，3個召喚水晶和1個水晶樞紐，遊戲的獲勝條件為摧毀對方的水晶樞紐。

「英雄聯盟」遊戲地圖如圖1所示（圖片來自維基百科）。對戰雙方各有5名玩家分別控制5個不同的「英雄」，比賽中本方5名玩家需要協同配合，通過擊殺敵方英雄、小兵和野怪獲取金錢，不斷更新裝備並摧毀敵方建築物，最終取得比賽的勝利。

比賽中，一方取勝的關鍵點往往在於一次「團戰」（即有多名雙方「英雄」參與的戰鬥）的勝利。「團戰」的勝負與雙方「英雄」的裝備、玩家的操作熟練度和所控制的遊戲地圖的視野等因素有關。其中，前兩項因素可以對應於蘭徹斯特方程中的作戰效能係數，而後一項可對應與蘭徹斯特模型中的不同作戰類型（正規戰與游擊戰）。

「英雄聯盟」對戰地圖

下面基於蘭徹斯特方程對「英雄聯盟」遊戲中的「團戰」進行分析，為簡化模型，忽略某一方5名「英雄」之間的個體差異，認為每個「英雄」均代表了該方玩家的平均水平。在比賽中，團戰往往在地圖視野明亮的地方開展，雙方均可以看到敵方單位的動向，並可以及時將火力從已摧毀的敵方單位身上轉化到尚未摧毀的敵方單位上，因此，遊戲中的「團戰」顯然更接近與蘭徹斯特平方率模型。在某一次「團戰」中，若甲乙雙方投入的兵力數量不等，在此種條件下，根據方程（1），通過分析蘭徹斯特平方率模型的相軌線[4]，可以得到乙方獲勝的條件為：

根據（3）式，若在遊戲的某次「團戰」中，乙方由於種種原因僅僅有4名「英雄」參戰，而甲方有5名，則此y₀/x₀₌0.8，乙方若想取勝，必須滿足的條件a>1.5625b。

也就是說，此時乙方每個英雄在單位時間內的作戰效能要達到甲方的1.5625倍，這是一個很大的差距，需要乙方每名玩家得到巨大的裝備優勢和嫻熟的操作熟練度的情況下才有可能完成。

在實際遊戲對戰中，經常會遇到某方有一名玩家掉線的情況，在該種情況下，通過數學模型分析可知，另外4名玩家將很難取得比賽的勝利。此外，上述分析還說明了在某方裝備和操作技術落後的情況下，5名玩家採取「抱團」的方式往往更容易取得對戰的優勢。

2.2 多元蘭徹斯特方程在多人在線競技遊戲對戰模型中的應用

2.2.1 多元蘭徹斯特模型

本文在2.1的討論中忽略了各方5名「英雄」之間的個體差異，該假設在分析一般的多人在線競技遊戲時顯得比較粗糙。由於一般情況下，各方選定的不同角色在對戰時有着不同的特性和分工，因此，各個「英雄」之間的個體差異必須考慮。

為解決上述問題，可以將遊戲雙方的10名「英雄」分別看成10個作戰單位，其中本方的5名「英雄」之間為協同作戰關係。紫方的5個作戰單位分別表示P_1，P_2，P_3，P_4，P_5，作戰效能分別a_1，a_2，a_3， a_4，a₅，藍方5個作戰單位分別表示為B_1，B_2，B_3， B_4，B₅，作戰效能分別為β_1，β_2，β_3，β_4，β_5，，慮到每個作戰單位並不是平均攻擊每個敵方目標，也不是只攻擊某一個敵方目標，因此，可以假定藍方的第 j 個「英雄」對紫方第i個「英雄」的攻擊力分配係數為_Φji ，紫方第 i 個「英雄」對藍方第 j 個「英雄」的攻擊力分配係數為φ_ij。

基於以上假設和定義，可以建立多元蘭徹斯特方程[6]為：

其中，P_i可以代表紫色方第 i 個「英雄」的血量，當血量降為0時，該「英雄」被擊殺。同理 B_j表示藍色方第 j 個英雄的血量。通過多元蘭徹斯特方程，更科學地分析多人在線競技遊戲中各個作戰單位的相互關係，從而建立更加精確的模型。

2.2.2 基於協同配合的多元蘭徹斯特方程在多人在線競技遊戲中的應用

在多人在線競技遊戲比賽中，各方的不同作戰單位之間屬於協同配合關係，由於在協同作戰的過程中，己方可以通過相互配合消耗對方的作戰效能係數，由此產生的己方損耗的減少可以等價為己方血量的增加[7]。因此，可以將協同配合的這部分作用以加和的形式體現在多元蘭徹斯特方程中，建立反映協同配合效應的多元蘭徹斯特方程為：

在上式中 b_zj，P_ki 分別表示紫方和藍方各「英雄」間的協同配合係數，該係數越高，反映了隊伍中不同玩家之間的配合嫻熟程度。由該方程可以看出，在多人在線競技遊戲中，玩家之間的相互配合對比賽的勝利起到了非常重要的作用。

2.2.3 模型參數確定方法的初步探討

以上討論了考慮協同配合的多元蘭徹斯特方程，並將其應用到了多人在線競技遊戲「英雄聯盟」中，建立了較為完備的數學模型。但是，該模型中含有多個未知參數，而對於不同「英雄」和不同的遊戲對局，這些參數的取值將會不同。截止2015年10月1日，「英雄聯盟」已開發出126個「英雄」角色，這些「英雄」具備不同的特性和技能，需要考慮不同「英雄」之間協同配合的組合數。由於每局比賽每方需要選擇5名不同「英雄」，因此任一方都將會產生126！/121！種不同選取組合，要準確確定每種組合之間的參數數值是很困難的，在實際應用中也沒有必要。針對多人在線競技遊戲中常見的對局組合和場景，本文對一種比較簡化的遊戲對戰情形進行具體的參數探討。

「英雄聯盟」遊戲中的5名英雄一般可分為五類角色，分別是上單、打野、中單、ADC和輔助，其中每類角色都對應着若干相對固定的英雄選擇。為簡單起見，本文考慮一次雙方分別僅有兩個「英雄」參與的團戰：假定某次團戰中，對戰雙方分別僅有ADC和輔助參與，其他遊戲角色相距較遠且不對團戰結果產生影響。在「英雄聯盟」遊戲中，ADC的作用相當於火力輸出核心，射程遠且對敵方單位造成的傷害高，但由於自身的血量較少，容易被對方擊殺；輔助的作用則主要是保護ADC不被敵方單位擊殺和控制遊戲視野，其自身攻擊力較低但血量相對較高，且一般擁有控制技能。

設方程（5）中的 P_1,P₂分別表示紫方ADC和輔助，B₁ ,B₂分別表示藍方ADC和輔助。在實際的遊戲對戰中，作戰效能係數可以認為是單位時間內一方「英雄」單位血量對另一方「英雄」造成的傷害值，該值的大小與「英雄」的攻擊力大小和攻擊速度都有關係。從（5）式中可以看出，單位時間內一方ADC對敵方「英雄」造成的傷害與該ADC的血量成正比，這一假定看似並不科學，但是考慮到實際對戰情況中，若一方ADC血量降低，則該ADC必將十分注意自我保護並謹慎輸出傷害，因此一定會影響其攻擊力，所以，（5）式中體現出的單位時間內一方ADC造成的傷害與其血量成正比的假設是比較合理的。通過查詢相關「英雄」的基本數據，便可以基於上述分析可以確定相應的參數值。

3.多人在線競技遊戲對戰模型的系統動力學建模與仿真

系統動力學（System dynamics，SD）最早於1956年由美國麻省理工學院的福瑞斯特（J．W．Forrester）教授為解決生產管理和庫存管理等問題而建立，最初稱為工業動態學。經過幾十年的發展，該學科已發展成為一門綜合自然科學和社會科學的重要橫向學科，有着廣泛的應用[8]。系統動力學方法可以對系統的內部機制進行清晰地反映，並且可以在小數據條件下進行動態仿真，從而完成具體複雜系統問題的求解[9]。本文中基於多元蘭徹斯特方程建立了多人在線競技遊戲對戰模型，該模型中涉及到多個單位之間的相互影響，且兩兩之間的關係使用微分方程進行描述。因此，若採用傳統解析解法進行分析求解會十分複雜，且所得結果並不直觀。採用系統動力學軟件對遊戲對戰模型進行數值仿真，可以更為形象地對結果進行展現。

常見的系統動力學仿真軟件有Vensim、DYNAMO、STELLA等，其中，美國Ventana系統公司開發的Vensim軟件具有界面友好、功能強大且操作相對簡單等特點[10]，因此本文採用該軟件進行遊戲對局的模擬仿真。

3.1 多人在線競技遊戲實例模擬與分析

在2.2.2和2.2.3中基於多元蘭徹斯特方程分別進行了模型建立與參數估計，在進行模擬和仿真時不妨仍討論一種較為簡單的情形，即2.2.3中描述的雙方分別僅有兩名「英雄」參與的團戰。此種情況下，遊戲對戰模型可表示為：

其中P_1，P₂，分別表示紫方ADC和輔助，B_1，B₂分別表示藍方ADC和輔助。根據（6）式所確定的對戰模型，使用Vensim軟件繪製的遊戲對戰系統流圖如下所示。

多人在線競技遊戲對戰模型系統流圖

根據不同「英雄」的數據分析，在下面的仿真中，模型參數值的選取分別為：

Φ₁₁=Φ₁₂=Φ₂₁=Φ₁₂=0.5，φ₁₁=φ₂₁=0.6，φ₁₂=φ₂₂=0.4，b₁₂=b₂₁=1.1x10^-5，p₁₂=p₂₁=3.7x10 ^-6，α₁=0.103，α₂=0.025，β₁=0.122，β₂=0.027。

為簡單起見，在本文參數確定過程中，假設藍方ADC與輔助攻擊造成的傷害平均分配到對方兩名「英雄」身上，而紫方ADC與輔助攻擊造成傷害的60%分配到對方ADC身上。仿真時假定藍方ADC和輔助的初始血量為1500和2300，紫方ADC和輔助的初始血量為1700和2000。從確定的參數中可以看出，紫方輸出傷害的分配更佳，而藍方攻擊力更強且協同配合做得較好。使用Vensim進行仿真，所得結果如下圖所示。

圖3 雙方各「英雄」血量變化結果

從仿真結果可以看出，在上述參數條件下，紫方ADC血量在20秒內迅速下降至300以下，處於被「擊殺」的邊緣，作為團隊傷害輸出的核心，紫方ADC幾乎失去了繼續輸出傷害的能力。因此可以判定，藍方取得了此次「團戰」的勝利。通過Vensim仿真，可以隨時調整不同的參數以預測不同條件下「團戰」的進程與結果。

3.2 模型靈敏度分析與遊戲策略研究

為了測試模型系統的穩定性，可以調整模型參數值進行對比仿真，從而研究不同初始條件對遊戲「團戰」結果的影響。在3.1所設定的參數條件下，紫方輸掉了團戰。若不改變紫方和藍方的攻擊力及火力分配，紫方ADC與輔助之間協同配合的好壞將成為決定「團戰」勝負的重要因素。在其他參數均不變的條件下，增強紫方協同係數，仿真結果如下圖所示。

圖4 增強紫方協同係數條件下紫方ADC血量變化對比

由上圖可以看出，紫方ADC在與輔助分別增加30%、100%和200%協同係數的情況下，其在團戰開始20秒後的血量值由原來的250.9分別增加到了303.7、440.7和673.7，由此分析可知，在「英雄」裝備有限的情況下，增強與本隊隊友之間的配合，可以顯著提高「團戰」效果，增大遊戲獲勝概率。

4.結論

本文基於多元蘭徹斯特方程對當前最為流行的多人在線競技遊戲「英雄聯盟」進行建模分析，考慮遊戲玩家之間的協同配合等因素，建立了較為完善的多人在線競技遊戲對戰模型。通過對模型的系統動力學模擬，形象地展現了遊戲「團戰」的進展過程，並可由此進行結果預測。通過對模型的靈敏度分析，可以討論在不同參數取值對模型運行結果的影響，從而為更加科學的遊戲策略的制定提供參考。

不得不說，表哥不愧是學術派的。這一大串文字看下來，emm…我好像也還是沒太懂。但是沒關係，足以拿去裝逼了。

參考文獻

[1] 艾瑞網. 艾瑞：2014年中國網絡遊戲市場規模1108.1億[EB/OL]. http://report.iresearch.cn/html/20150204/246130.shtml

[2] 百度百科. 電子競技_百度百科[EB/OL]. http://baike.baidu.com/link?url=P7G4CwsU_dOHnPHZO_h1h339IdevH-s0OfF0y56dHpGi8r-zAa5-kKY4vBf0QRpIBwZsFwOrf0T-e_nEjPFtjq

[3] 中關村在線. 《英雄聯盟》日活躍用戶突破2700萬[EB/OL]. http://game.zol.com.cn/486/4869310.html

[4] 姜啟源,謝金星,葉俊. 數學模型（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社, 2011.

[5] 王勇, 孫濤, 李小偎,等. 基於Lanchester方程的作戰過程建模及仿真研究[J]. 系統工程與電子技術, 2009, 07期(7):1677-1679.

[6] 張嘯天, 李志猛, 鄧紅艷. 多維戰爭中蘭徹斯特方程探討[J]. 火力與指揮控制, 2008, 第2期:5-7.

[7] 彭文成, 周電傑, 張文. 基於協同作戰的兵力損耗蘭徹斯特方程[J]. 運籌與管理, 2009, 18:128-131.

[8] 張波, 虞朝暉, 孫強,等. 系統動力學簡介及其相關軟件綜述[J]. 環境與可持續發展, 2010, 第2期:1-4.

[9] 陶立, 楊磊, 顏丙政,等. 垃圾減量分類中社會及個體因素的量化分析[J]. 數學建模及其應用, 2013, Z1期:23-26.

[10] 孔紅山, 張明清, 唐俊. 蘭徹斯特方程的系統動力學模型研究[J]. 計算機工程與設計, 2011, 32:2789-2791.

Multiplayer Online Battle Arena Games Research Based on Lanchester Equation

Abstract: In view of the problem of current multiplayer online battle arena games generally lack of quantitative description of the mathematical model, this paper uses the classical Lanchester equation to discuss the winning probability of both side. Based on multi-dimensional Lanchester equation and considering factors in synergy among players of the game, the differential equation model is built to describe the war process of multiplayer online battle arena games. Through the system dynamics simulation for the multiplayer online battle arena game League of Legends by Vensim, it can show the game process and the results forecast.

Keywords: Lanchester equation; multiplayer online battle arena; coordination; system dynamics