編輯：Aeneas 好睏
【新智元導讀】最近的數學圈，都被橢圓曲線的murmuration（椋鳥群飛）現象震驚了。由經驗不足的本科生無意中做出的這個成果，竟讓一位華人數學家離「千禧年問題」更近了一步。而且這次數學難題的破解，是由AI來完成的！
用AI研究數學領域，最近又有重大發現了。
這次數學家們用AI發現的，是橢圓曲線中的murmuration（椋鳥群飛）現象。
他們發現，如果以正確的方式觀察，在橢圓曲線中會出現像飛行中的椋鳥群一般的圖案。
現在，murmuration相關研究已經轟動了數學圈，每周都有相關新研究問世。
令人不可思議的是，這個發現是由數個偶然組成的——
橢圓曲線的數據，恰巧按照conductor來排序；一個經驗不足的本科生，恰巧沒有處理某個數值，讓曲線的震蕩極為明顯；按照conductor預排序的數據集，恰巧被人提前做了出來……
任何一個要素的變動，都會導致人類與這一重要的數學發現失之交臂，或許再晚上幾十年……
並且，被陶哲軒認證的說法再次被證實：數學家們要做好準備了，AI將在十年內，趕上甚至超過最優秀的人類數學家！
七大千禧年難題之一
橢圓曲線，一直是現代數學中最迷人的對象之一。
它看似簡單，卻是把高中數學連接向深奧的數學研究的一條快速通道。
它是1990年代Andrew Wiles證明費馬大定理過程中的核心，還是現代密碼學的關鍵工具。
在2000年，克萊數學研究所將橢圓曲線統計特性的一個猜想，列為七大「千禧年問題」之一，懸賞100萬美元的獎金。
在1960年代，這一猜想被數學家Bryan Birch和Peter Swinnerton-Dyer提出，至今尚未得到證明。
因此，深入探索橢圓曲線，已經成為了數學領域的一項重要的高風險任務。
果然，有人想到了用AI向橢圓曲線難題發起了衝擊。
在2022年，數學家利用統計技術和AI，竟然在橢圓曲線上發現了一些出乎意料的全新特性！
他們發現：如果以正確的方式觀察，橢圓曲線就能「像椋鳥成群結隊一樣飛翔」。
任教於普林斯頓大學和高級研究院的數學家Peter Sarnak表示：「機器學習總會給我們帶來一些意料之外的驚喜！」
橢圓曲線上為什麼會出現這些特性呢？剛發現時，許多數學家感到非常困惑。
近期的一些研究發現，這些類似椋鳥群飛翔時不斷變化的形狀（murmuration），並不僅僅是2022年研究中的特例，而是橢圓曲線普遍的共性。
神奇的橢圓曲線
要弄明白這些模式究竟是什麼，我們首先得對橢圓曲線及其分類有所了解。
橢圓曲線是通過一個變量（通常用y表示）的平方與另一個變量（通常用x表示）的三次方之間的關係來定義的：y^2=x^3+Ax+B，這裡的A和B是滿足幾個簡單條件的一對數值。
橢圓曲線方程定義了一條可以在平面上繪製的曲線，如下所示。
雖然看起來很普通，但對於數論學者來說，橢圓曲線卻是非常強大的工具。
這是因為，數論學者需要在整數中尋找規律。他們不喜歡讓變量x和y所有數字中取值，而是希望將它們限制在特定的數系中，也即在給定的數繫上定義一個曲線。
而僅限於有理數的橢圓曲線，在數論的研究中格外有用。
普林斯頓數學家Sarnak說，「實數或複數域上的橢圓曲線非常單調，真正有深度的，是定義在有理數域上的橢圓曲線。」
下面這個例子，可以證明這一點。
如果我們在橢圓曲線上任意兩個有理點之間畫一條直線，那麼這條線再次與曲線相交的位置，也會是有理點。
利用這個性質，我們可以在橢圓曲線上定義一種「加法」運算，如下圖所示。
在點P和點Q之間畫一條直線，這條直線將與曲線相交於第三點R。（如果這條直線不與曲線相交呢？數學家們就會巧妙地添加一個「無窮遠處的點」。）
接下來，就是見證奇蹟的時刻——R沿x軸的鏡像點，就是P+Q的和！
結合這種加法運算，曲線的所有解，就形成了一種稱為「群」的數學對象。
而數學家正是藉助這種方式，來定義曲線的「秩」。
曲線的秩反映了它擁有的有理數解的數量：秩為0的曲線只有有限個解，而那些秩較高的曲線，則有無限個解。
而這些解之間的加法運算關係，就是用秩來描述的。
秩的概念不是那麼容易理解。數學家並不總是有辦法計算出秩的數值，也不能確定它的最大值能達到多大。（目前已知的某個特定曲線的最大精確秩是20。）
而外觀相似的曲線，也可能擁有完全不同的秩。
此外，橢圓曲線還與質數（只能被1和自身整除的數）有着緊密的聯繫。
因此，數學家還特意研究了在有限域上的曲線。
有限域是一種圍繞每個質數定義的循環算術系統。
我們可以把有限域想象成一個時鐘，其「小時數」就等同於該質數：到達這個質數時如果你繼續往後數，數字就會從0開始。
例如，在質數7構成的有限域中，5加2的結果是0，5加3的結果是1。
每個橢圓曲線，都有一個稱為a_p的數列，這個序列反映了由質數p定義的有限域內橢圓曲線的解的數量。
如果a_p的值較小，曲線的解就更多；反之，a_p的值較大，則解的數量更少。
儘管計算曲線的秩相當複雜，但是找出a_p序列卻容易得多。
基於一台非常早期的計算機上計算出的成果，數學家Birch和Swinnerton-Dyer提出了一個猜想。
他們認為，橢圓曲線的秩與a_p序列之間存在特定的關係。
誰要是能證明他們的猜想是正確的，不僅能贏得一百萬美元的獎金，還將在數學史上青史留名。
AI有了驚人發現
然後，我們就來到了這位華人研究員的故事。
在2020年，英國皇家學會倫敦數學科學研究所的研究員Yang-Hui He（何楊輝），決定藉助AI來挑戰橢圓曲線問題。
何教授本科學的是物理，然後在MIT取得了數學物理博士學位。
但隨着時間的推移，他對數論的興趣與日俱增，並且開始考慮用AI來探索數字中的未知規律。
此前，他就已經開始利用機器學習，對弦論中廣泛使用的Calabi-Yau流形進行分類了。
論文地址：https://arxiv.org/abs/1812.02893
但隨後，他就感覺到了強烈的受挫。
在2020年8月，何楊輝在諾丁漢大學的一場在線講座中，表達了自己對於用AI發現數學新知識的悲觀看法。
當時，他是這麼說的：「我沒有任何進展，因為我不是這一領域的專家。我甚至都沒有找到正確的方法。」
當時的聽眾之一、威斯敏斯特大學的數學家Thomas Oliver回憶道，他之所以認為數論很難，是因為無法簡單地把機器學習應用在數論研究中。
由左至右：Kyu-Hwan Lee，Thomas Oliver，何楊輝
後來，Thomas Oliver便叫上康涅狄格大學的數學家Kyu-Hwan Lee一同，與何楊輝展開了更深度的合作。
「我們最初的目的，只是想了解一下機器學習是什麼，而不是真的去深入研究數學，」Oliver說。「但很快，我們發現機器學習可以幫我們理解許多問題。」
Oliver和Lee建議，大家可以用AI研究L函數，即通過序列a_p與橢圓曲線密切相關的無窮級數。
為此，他們利用橢圓曲線及其相關L函數的在線數據庫（LMFDB），訓練了一個極其學習分類器。
這個數據庫收錄了超過300萬條有理數範圍內的橢圓曲線及其相關的L函數。
2020年10月，他們發表了一篇論文，通過分析L函數的信息，來預測橢圓曲線的特定性質。
論文地址：https://arxiv.org/abs/2010.01213
11月，他們再次發表論文，利用機器學習對數論中其他對象進行了分類。
論文地址：https://arxiv.org/abs/2011.08958
到了12月，他們已經能夠準確預測橢圓曲線的等級。
論文地址：https://arxiv.org/abs/2012.04084
但即便如此，三人都搞不明白，為什麼機器學習算法會如此有效。
本科生接手研究
Lee把揭開這一謎團的任務，交給自己的本科生Alexey Pozdnyakov。
康涅狄格大學的本科生Alexey Pozdnyakov是世界上第一個觀察到這種模式的人
Pozdnyakov是這樣入手的。
LMFDB通過一個叫做conductor的量，來對橢圓曲線進行分類，這個量概括了曲線在某些質數上表現不佳的信息。
於是，Pozdnyakov嘗試同時研究大量具有相似conductor值的曲線，比如conductor值為7,500到10,000之間的所有曲線。
總的來說，這項研究涵蓋了大約10,000條橢圓曲線。其中，有大約一半的秩為0，另一半的秩為1（更高秩的曲線極其罕見）。
接着，Pozdnyakov分別計算了秩為0和秩為1的曲線的a_p值的平均數，並將這些數據繪製成圖。
結果顯示，這兩組數據形成了兩個截然不同、清晰可辨的波。
而這，就是機器學習能夠準確預測特定曲線等級的原因。
最初，Pozdnyakov只是很高興自己完成了導師交代的任務。
Kyu-Hwan教授立刻敏銳地意識到，這其中絕對有不尋常的發現！
當Lee教授和Oliver教授知道後，他們也非常驚喜。
Pozdnyakov向他們展示了上面的那張圖，他們立刻聯想到了鳥群在空中飛行時形成的圖案。
Kyu-Hwan教授隨後查到，這種現象叫做murmuration。
何教授隨後提議，將論文命名為「橢圓曲線的murmuration」。
論文地址：https://arxiv.org/abs/2204.10140
論文引起強烈反響
2022年4月，他們將論文上傳，分享給一些數學家。
大家忐忑地想，或許這個所謂的發現早就為人熟知，畢竟曲線實在太明顯了。
然而，出乎他們意料的是，論文一經發布，立刻引起了數學界的轟動。
MIT科學家Andrew Sutherland對此尤為感興趣。
Andrew Sutherland
作為LMFDB的管理編輯之一，Sutherland發現，原有的300萬條橢圓曲線對於他的研究目標來說，是遠遠不夠的。
他希望通過研究更大範圍的conductor，來檢驗所謂的「murmuration」是否具有普遍性。
因此，他從另一個擁有約1.5億條橢圓曲線的龐大數據庫中提取了數據。但他對此仍然不滿足，於是又從另一個包含3億條橢圓曲線的數據庫中再次提取數據。
但是這些還不夠！
最後，Sutherland的數據集，包含了超過10億的橢圓曲線。通過這個數據集，繪製出了非常高清的圖像。
他發現，無論是是15000條橢圓曲線，還是100萬條，這種「murmuration」始終都會顯現。
更令人驚訝的是，即使在橢圓曲線涵蓋的質數範圍越來越大時，這種圖形的形狀依然保持不變，這種現象被稱為「尺度不變性」。
Sutherland還發現，這種「murmuration」不僅存在於橢圓曲線中，也會出現在更一般的L函數中。
他將這些發現發送給了滑鐵盧大學的Michael Rubinstein教授和Sarnak教授。
他對此百思不得其解：「如果這背後有一個已知的原因，我相信你們一定能告訴我」。
然而，他們對此也一無所知。
新公式誕生，數學圈被引爆
2023年8月，何楊輝、Lee和Oliver在布朗大學的計算與實驗數學研究所（ICERM）舉辦了一場專門探討murmuration的研討會，並吸引了包括Sarnak和Rubinstein在內的眾多學者參與。
會上，Sarnak的學生Nina Zubrilina介紹了自己在模形式中，針對murmuration的研究成果。模形式是一種特殊的複函數，它們與橢圓曲線相似，都有對應的L函數。
Zubrilina發現，在conductor較大的模形式中，murmuration呈現出一種趨向於集中成一條清晰的曲線，而非分散的模式。
隨後，她在2023年發表的一篇論文中，證明了這種murmuration遵循一個明確的公式。
論文地址：https://arxiv.org/abs/2310.07681
Sarnak對此評價道：「Nina的重大貢獻在於她提出了一個『Zubrilina murmuration密度公式』。她運用了高深的數學知識，證明了一個與數據完美吻合的精確公式。」
儘管這個公式相當複雜，但Sarnak認為它是一種重要的新型函數，甚至可以和定義微分方程解的艾里函數相媲美——後者定義了在物理學中各種情況下使用的微分方程的解，從光學到量子力學。
而Zubrilina公式的提出，直接引爆了這個領域，現在幾乎每周都有相關的新論文發布。
Sarnak解釋說，這些研究主要是採用Zubrilina的方法，進一步探討murmuration的不同方面。
Jonathan Bober、Andrew Booker和Min Lee來自布里斯託大學，他們與ICERM的David Lowry-Duda合作，在一篇10月份的論文中證明了模形式存在一種不同的murmuration。
此外，Kyu-Hwan Lee、Oliver和Pozdnyakov還證明了在被稱為狄利克雷特徵的對象中存在murmuration，這些對象與L函數有着密切的聯繫。
數學的重大發現，有很多「偶然」
如今回想起來，對於這一發現背後所需的重大運氣，Sutherland仍然會不住感慨。
如果當初，橢圓曲線的數據沒有按照conductor來排序，那麼murmuration可能就不會被發現。
「他們很幸運地使用了LMFDB中已經按conductor預排序的數據，這是關聯橢圓曲線和對應模形式的關鍵，但這並不是顯而易見的……兩個方程式看似相似的曲線，其conductor卻可能大相徑庭。」
例如，方程y^2=x^3–11x+6的conductor是17，而將減號改為加號後，y^2=x^3+11x+6的conductor則為100,736。
不僅如此，murmuration的發現，也在一定程度上多虧了本科生Pozdnyakov的經驗不足。
「如果沒有他，我們可能不會發現這一點，」Oliver說，「因為專家通常會把a_p的絕對值歸一化為1。但他沒有這樣做……因此，振蕩才變得非常明顯。」
Oliver指出，AI算法用於按等級排序橢圓曲線的統計模式，存在於一個具有數百維的參數空間中——這對人類來說太複雜了，難以在腦海中排序，更不用說可視化了。
雖然是機器學習首先發現了這些隱藏的振蕩，但數學家們直到後來才明白，這些振蕩實際上就是murmuration。
Yang-Hui He 何楊輝
何楊輝是一位傑出的數學物理學家，目前是倫敦數學科學研究所的研究員，以及牛津大學默頓學院的導師。
與此同時，何教授還在倫敦大學城市學院擔任數學客座教授，在南開大學擔任長江學着講座教授，並且還是STEMM全球科學協會主席。
何教授的研究工作橫跨量子場理論、弦理論、代數幾何和數論等多個領域，並深入探索AI和機器學習在這些問題中的應用，是利用AI進行純數學研究的領域先驅之一。
目前，何教授已發表超過200篇科學論文，並定期舉行公開講座。此外，他還積极參与科普活動，擔任BMUCO顧問和One Garden研究員，致力於將科學知識普及給更廣泛的公眾。
何楊輝在1975年9月出生於中國蕪湖，在中國和澳大利亞度過了他的小學時光，隨後在澳大利亞和加拿大完成了高中學業。
1996年，何楊輝以最高榮譽（summa cum laude，同時獲得Allen Shenstone獎和Kusaka Memorial獎）從普林斯頓大學獲得物理學學士學位，並同時取得了應用數學和工程物理的雙重證書。
緊接着，他在1997年以優異的成績從劍橋大學獲得了碩士學位，並在2002年在麻省理工學院理論物理中心完成了他的博士學位研究（獲得了美國國家科學基金會獎學金和麻省理工學院總統獎）。
完成在賓夕法尼亞大學的博士後工作後，何楊輝加入牛津大學，擔任FitzJames研究員和英國STFC高級研究員。
參考資料：
https://www.quantamagazine.org/elliptic-curve-murmurations-found-with-ai-take-flight-20240305/
