「初中數學第42講」三角形的內角和定理相關習題及答案解析

1.如圖，等腰三角形ABC中，頂角∠A=36°，BD平分∠ABC，D點是AC的黃金分割點，若AC=4cm，則BD=______cm（結果保留三個有效數字）

2.在△ABC中，A1、A2、…A5為AC邊上不同的點，連接BA1，圖中有3個不同的三角形；再連接BA2，圖中有6個不同的三角形；如此繼續下去，當連接BA5時，則圖中不同的三角形共有______個。

3.如圖，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交於點A1，∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交於點A2，…，∠An-1BC的平分線與∠An﹣1CD的平分線交於點An，設∠A=θ，則：

（1）∠A1=（ ）；

（2）∠An=（ ）。

4.已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：3：5，則△ABC是 ______三角形。

5.一個三角形三邊長之比為2：3：4，周長為36cm，求此三角形的三邊長。

6.按要求完成作圖，並回答問題：如圖，三角形ABC中

（1）畫線段BC的中點D，並連接AD；

（2）過點A畫BC的垂線，垂足為E；

（3）根據上述作圖，若∠ABC=60°，則∠BAE= ______，若BD=2cm，則BC= ______cm；

（4）用“<”、“=”、“>”填空：AB+AC_______BC，根據_________．

7.下面命題中：

（1）旋轉不改變圖形的形狀和大小

（2）軸反射不改變圖形的形狀和大小

（3）連接兩點的所有線中，線段最短

（4）三角形的內角和等於180°

屬於公理的有（ ）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

8.已知一個三角形中有兩個內角之和為n°，最大角比最小角大24°，則n的取值範圍是______。

9.下列四種說法：

①若一個三角形三個內角的度數比為2：3：4，則這個三角形是銳角三角形。

②“擲兩枚質地均勻的正方體骰子點數之和一定大於6”是必然事件。

③購買一張彩票可能中獎。

④已知等腰三角形的一個內角為40°，則這個等腰三角形的頂角為100°。

其中正確的序號是______

10.下列判斷的語句中，錯誤的是（ ）

A．三角形三個內角的和等於180度

B．經過直線外一點有且只有一條直線垂直於已知直線

C．射線AB和射線BA表示同一條射線

D．有兩個內角等於60°的三角形一定是等邊三角形

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不要偷看答案

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1.

【解析】

∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

又BD平分∠ABC，

∴∠ABD=36°，

∴BD=AD，

∵D點是AC的黃金分割點，

∴BD=AD≈4×0.618≈2.47cm

【答案】2.47

2.

【解析】

連接BA1時，有△AA1B、△ACB、△A1CB共3個，

再連接BA2時，有△AA1B、△AA2B、△ACB、△A1A2B、△A1CB、△A2CB共6個，

…，

依此類推，再連接BAn時，共有三角形個數為：

(n+1)(n+2)

2

所以，當連接BA5時，不同的三角形共有

(5+1)(5+2)

2

=21

【答案】21

3.

【答案】

（1）

；（2）

4.

【解析】

設∠A=x，∠B=3x，∠C=5x，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴x+3x+5x=180°，

解得：x=20°，

∴∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°，

∴△ABC是鈍角三角形

【答案】鈍角

5.

【解析】

設三邊長分別為2x，3x，4x，

由題意得，2x+3x+4x=36，

解得：x=4

【答案】

三邊長為：8cm，12cm，16cm

6.

【答案】

（1）分別以B，C為圓心，

大於

BC為半徑畫圓，兩圓相交於F，

過F作FD⊥BC於D，則點D即為BC的中點；

（2）過點A畫BC的垂線，垂足為E；

（3）∵在△ABE中，∠ABC=60°，

∠AEB=90°，

∴∠BAE=180°﹣60°﹣30°=30°，

BD=2cm，則BC=2BD=4cm；

（4）AB+AC>BC，根據兩點之間線段最短．

7.

【解析】

（1）旋轉不改變圖形的形狀和大小，正確且是公理；

（2）軸反射不改變圖形的形狀和大小，正確且是公理；

（3）連接兩點的所有線中，線段最短，正確且是公理；

（4）三角形的內角和等於180°，正確但不是公理。

綜上可得（1）（2）（3）正確

【答案】C

8.

【解析】

設△ABC三內角為∠A，∠B，∠A+24°，且∠A≤∠B≤∠A+24°．

當∠A=∠B時，n=∠A+∠B，可得n有最小值104°，即n≥104°．

當∠B=∠A+24°時，n=∠B+（∠A+24°），可得n有最大值136°，即n≤136°

【答案】104°≤n≤136°

9.

【解析】

①若一個三角形三個內角的度數比為2：3：4，即可得出2x+3x+4x=180°，解得：x=20°，

∴三角形三個內角的度數分別為：40°，60°，80°，

∴這個三角形是銳角三角形；故此選項正確；

②“擲兩枚質地均勻的正方體骰子點數之和一定大於6”是必然事件；根據擲兩枚質地均勻的正方體骰子也可能出現兩點數之和小於6，故此是隨機事件，

故此選項錯誤；

③購買一張彩票可能中獎；是隨機事件，故此選項正確；

④已知等腰三角形的一個內角為40°，則這個等腰三角形的頂角為100°，此三角形頂角也可能是40°，故此選項錯誤。

【答案】①③

10.

【解析】

A、符合三角形的內角和定理，故本選項正確，不符合題意；

B、是垂線的性質，故本選項正確，不符合題意；

C、射線AB和射線BA的端點不同，延伸方向不同，故本選項錯誤，符合題意；

D、符合等邊三角形的判定，故本選項正確，不符合題意。

【答案】C